Statystyka

Jak znaleźć średnią, medianę, modę i rozproszenie

Ten kalkulator znajduje średnią, medianę, modę, rozstęp, wariancję i odchylenie standardowe dowolnej listy liczb. Wklej lub wpisz swoje liczby w pole poniżej — oddzielone przecinkami, spacjami lub nowymi liniami, w dowolnej kombinacji — a wszystkie popularne statystyki opisowe zostaną obliczone naraz.

Średnia to średnia arytmetyczna. Mediana to wartość środkowa po posortowaniu liczb (lub średnia dwóch środkowych wartości dla listy o parzystej liczbie elementów). Moda to wartość (lub wartości) występująca najczęściej — jeśli każda liczba pojawia się dokładnie raz, moda nie istnieje.

Odchylenie standardowe mierzy, jak bardzo liczby są rozproszone wokół średniej — małe odchylenie standardowe oznacza, że liczby są skupione blisko siebie; duże oznacza, że są szeroko rozproszone. Ten kalkulator podaje je na dwa sposoby: odchylenie standardowe populacji (gdy Twoje liczby to cała grupa, która Cię interesuje) oraz odchylenie standardowe próby (gdy Twoje liczby to próba używana do oszacowania większej populacji) — wersja dla próby jest nieco większa, korygując fakt, że próba ma tendencję do niedoszacowania rzeczywistego rozproszenia całej populacji.

Wzór

$$\vC{\text{Średnia}} = \frac{\sum \vA{\text{Liczby}}}{\vB{\text{Liczba elementów}}}$$ $$\vD{\text{Wariancja populacji}} = \frac{\sum (\vA{\text{Liczba}} - \vC{\text{Średnia}})^2}{\vB{\text{Liczba elementów}}}$$ $$\vD{\text{Wariancja próby}} = \frac{\sum (\vA{\text{Liczba}} - \vC{\text{Średnia}})^2}{\vB{\text{Liczba elementów}} - 1}$$ $$\text{Odchylenie standardowe} = \sqrt{\vD{\text{Wariancja}}}$$

Populacji lub próby, zgodnie z użytą wariancją.

Jedyna różnica między wersją dla populacji i próby to dzielenie przez samą liczbę elementów w porównaniu do liczby elementów minus jeden (znane jako poprawka Bessela) — reszta jest identyczna.

Przykład obliczeniowy

Liczby 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9:

1. Liczba elementów: $\vB{8}$. Suma: $\vA{40}$. Średnia: $\vA{40} \div \vB{8} = \vC{5}$.
2. Posortowane: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — mediana to średnia dwóch środkowych wartości (4 i 5): $(4 + 5) \div 2 = 4.5$.
3. Moda: 4 (występuje trzy razy, częściej niż jakakolwiek inna wartość).
4. Rozstęp: $9 - 2 = 7$.
5. Odchylenie standardowe populacji: 2,0. Odchylenie standardowe próby: ≈2,14.

Kluczowe czynniki do rozważenia

• Średnia i mediana mogą opowiadać bardzo różne historie, gdy zbiór danych ma wartości odstające lub jest skośny. Pojedyncza bardzo duża lub bardzo mała wartość przyciąga średnią w swoją stronę, podczas gdy mediana pozostaje zakotwiczona w środku posortowanych danych niezależnie od wartości skrajnych — dokładnie dlatego mediana dochodu gospodarstwa domowego, na przykład, jest powszechnie podawana zamiast (lub obok) średniego dochodu, ponieważ garstka bardzo wysokich dochodów inaczej podniosłaby średnią.
• Wybór między odchyleniem standardowym populacji a próby zależy całkowicie od tego, co faktycznie reprezentują Twoje liczby, a nie od preferencji. Jeśli wprowadzone liczby to CAŁA interesująca Cię grupa (każdy uczeń w jednej konkretnej klasie), użyj populacji. Jeśli to PRÓBA mająca oszacować większą grupę (ankieta wśród niektórych klientów mająca reprezentować wszystkich klientów), użyj próby — wybór niewłaściwej opcji systematycznie zaniża lub zawyża rzeczywistą zmienność.
• Zbiór danych może nie mieć mody, mieć jedną modę lub wiele mod, w przeciwieństwie do średniej i mediany, które zawsze są pojedynczymi wartościami. Jeśli każda wartość na liście pojawia się dokładnie raz, po prostu nie ma mody — a jeśli dwie lub więcej wartości remisuje jako najczęstsze, zbiór danych może naprawdę być „bimodalny” lub „wielomodalny”, co samo w sobie jest często znaczącym sygnałem o leżących u podstaw danych.
• Odchylenie standardowe jest najbardziej intuicyjnie interpretowane dla w miarę dzwonokształtnych (normalnych) rozkładów, gdzie mniej więcej 68% wartości mieści się w jednym odchyleniu standardowym od średniej. Dla danych mocno skośnych lub o bardzo innym kształcie, odchylenie standardowe wciąż jest ważną miarą rozproszenia, ale intuicyjne procenty „reguły 68-95-99,7” nie stosują się już tak dokładnie.

Częste błędy

• Zawsze używanie odchylenia standardowego populacji (lub zawsze próby) z przyzwyczajenia. Które jest poprawne, zależy całkowicie od tego, czy wprowadzone liczby to cała grupa, czy tylko jej próba — wybór niewłaściwej opcji systematycznie zaniża lub zawyża rzeczywiste rozproszenie, niezależnie od tego, jak starannie wykonana jest reszta obliczeń.
• Traktowanie średniej jako „typowej wartości”, gdy dane są skośne. Garstka nietypowo dużych lub małych liczb odciąga średnią od miejsca, w którym faktycznie znajduje się większość danych — mediana jest często bardziej uczciwą „typową wartością” dla skośnych danych, takich jak dochody czy ceny nieruchomości.
• Zapominanie, że moda może nie istnieć, być pojedyncza, lub wielokrotna. Założenie, że każdy zbiór danych ma dokładnie jedną modę, prowadzi do zamieszania, gdy lista nie ma powtarzających się wartości (brak mody) lub kilka wartości remisuje jako najczęstsze (wielomodalny) — oba są normalnymi, oczekiwanymi wynikami, a nie błędami.

Warto wiedzieć

• Potrzebujesz zestandaryzować pojedynczą wartość względem znanej średniej i odchylenia standardowego zamiast obliczać je z listy? Kalkulator wskaźnika Z (z-score) przekształca pojedynczą wartość na wynik z i percentyl.
• Pracujesz tylko z dwiema liczbami i chcesz ich procentową różnicę zamiast pełnej analizy statystyki opisowej? Kalkulator błędu procentowego i Kalkulator procentowy obejmują ten prostszy przypadek.
• Ciekawi Cię, jak prawdopodobny jest konkretny wynik, zamiast po prostu opisywać zbiór danych, który już masz? Kalkulator prawdopodobieństwa oblicza prawdopodobieństwo pojedynczych i złożonych zdarzeń.