Wzór kwadratowy

Rozwiązywanie ax² + bx + c = 0 dla Każdej Wartości x

Wzór kwadratowy rozwiązuje dowolne równanie postaci ax² + bx + c = 0 dla x, korzystając tylko z trzech współczynników równania. Podaj a, b i c, a ten kalkulator znajdzie każdą wartość x, przy której równanie jest prawdziwe — łącznie z przypadkiem, gdy odpowiedź obejmuje liczby zespolone, a nie rzeczywiste.

Równanie kwadratowe zawsze ma dokładnie dwa rozwiązania, jeśli liczyć je poprawnie: dwie różne liczby rzeczywiste, jedną liczbę rzeczywistą liczoną podwójnie („podwójny pierwiastek”) lub parę liczb zespolonych. To, który przypadek zachodzi, zależy wyłącznie od znaku wyróżnika (części pod pierwiastkiem kwadratowym) — ten kalkulator mówi Ci, który to przypadek, a nie tylko podaje surowe liczby.

Wzór

Dla $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (przy $\vA{a} \neq 0$):

$$x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}$$

Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$, nazywane jest wyróżnikiem:

Przykład obliczeniowy

Dla $x^2 - 3x + 2 = 0$ ($\vA{a}=1$, $\vB{b}=-3$, $\vC{c}=2$):

1. Wyróżnik: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$, który jest dodatni, więc istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
2. $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$.
3. $x = \frac{4}{2} = 2$ lub $x = \frac{2}{2} = 1$.

Sprawdzenie: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ oraz $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — oba rozwiązania się zgadzają.

Kluczowe czynniki do rozważenia

• Rozwiązania równania kwadratowego to dokładnie te miejsca, w których jego wykres (parabola) przecina oś x. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste oznaczają, że parabola przecina oś x w dwóch punktach; podwójny pierwiastek oznacza, że dotyka osi tylko w jednym punkcie (swoim wierzchołku); pierwiastki zespolone oznaczają, że parabola w ogóle nie dotyka osi x, pozostając całkowicie powyżej lub poniżej niej.
• Sam wyróżnik mówi Ci o CHARAKTERZE rozwiązań, zanim wykonasz dalsze obliczenia. Sprawdzenie, czy $b^2 - 4ac$ jest dodatnie, zerowe czy ujemne, to szybki sposób, aby z góry wiedzieć, czy równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste, jedno powtórzone rozwiązanie, czy parę sprzężonych liczb zespolonych, bez konieczności najpierw dokańczania reszty wzoru.
• Współczynnik a równania kwadratowego nigdy nie może być zerem, bo przestaje ono być kwadratowe. Jeśli a = 0, wyraz $x^2$ całkowicie znika, a równanie staje się liniowe (co najwyżej jedno rozwiązanie, znajdywane prostą algebrą) zamiast kwadratowego — dlatego sam wzór kwadratowy jest ważny i potrzebny tylko wtedy, gdy a jest różne od zera.
• Pierwiastki zespolone zawsze występują w parach sprzężonych dla równania kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych. Gdy wyróżnik jest ujemny, dwa rozwiązania zawsze przyjmują postać $p + qi$ i $p - qi$ (identyczne części rzeczywiste, przeciwne znaki części urojonej) — to sparowanie jest bezpośrednią konsekwencją znaku ± we wzorze zastosowanego do liczby ujemnej pod pierwiastkiem kwadratowym.

Częste Błędy

• Zapomnienie o ± i podanie tylko jednego pierwiastka. Znak ± we wzorze kwadratowym oznacza, że trzeba wykonać dwa osobne obliczenia (jedno z +, jedno z -) — zatrzymanie się po pierwszym pomija połowę odpowiedzi, gdy tylko wyróżnik nie jest dokładnie zerem.
• Traktowanie ujemnego wyróżnika jako „braku rozwiązania” zamiast rozwiązania zespolonego. Ujemny wyróżnik oznacza, że równanie nie ma rozwiązania RZECZYWISTEGO, ale nadal ma dwa ważne rozwiązania zespolone — równanie nie jest nierozwiązywalne, po prostu nie da się go rozwiązać w liczbach rzeczywistych.
• Wpisanie a = 0 i oczekiwanie odpowiedzi kwadratowej. Bez niezerowego a równanie jest liniowe, a nie kwadratowe, a dzielenie przez 2a we wzorze staje się nieokreślone — równanie liniowe wymaga zamiast tego prostej algebry.

Warto Wiedzieć

• Potrzebujesz tylko pierwiastka kwadratowego lub n-tego zamiast rozwiązywać całe równanie? Kalkulator pierwiastka kwadratowego / n-tego stopnia oblicza pierwiastki kwadratowe i n-te bezpośrednio.
• Pracujesz z potęgami samodzielnie? Kalkulator potęgowania oblicza potęgi i pierwiastki.
• Potrzebujesz szerszego kalkulatora do trygonometrii, logarytmów lub innych funkcji poza tym równaniem? Kalkulator naukowy obsługuje szeroki zakres obliczeń naukowych.