الإحصاء

إيجاد الوسط الحسابي والوسيط والمنوال وتشتت مجموعة البيانات

يجد هذا الحاسبة الوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى والتباين والانحراف المعياري لأي قائمة من الأرقام. الصق أو اكتب أرقامك في الصندوق أدناه — مفصولة بفواصل أو مسافات أو أسطر جديدة، بأي مزيج — وتُحسب كل الإحصائيات الوصفية الشائعة دفعة واحدة.

الوسط الحسابي هو المتوسط الحسابي. الوسيط هو القيمة الوسطى عند ترتيب الأرقام (أو متوسط القيمتين الوسطيتين، لقائمة ذات عدد زوجي). المنوال هو أي قيمة (أو قيم) تظهر بشكل أكثر تكرارًا — إذا ظهر كل رقم مرة واحدة بالضبط، فلا يوجد منوال.

الانحراف المعياري يقيس مدى انتشار الأرقام حول الوسط الحسابي — انحراف معياري صغير يعني أن الأرقام متجمعة قريبًا من بعضها؛ انحراف معياري كبير يعني أنها منتشرة على نطاق واسع. يبلغ هذا الحاسبة عن ذلك بطريقتين: الانحراف المعياري للمجتمع (عندما تكون أرقامك هي المجموعة الكاملة التي تهتم بها) والانحراف المعياري للعينة (عندما تكون أرقامك عينة تُستخدم لتقدير مجتمع أكبر) — نسخة العينة أكبر قليلاً، لتصحيح حقيقة أن العينة تميل إلى التقليل من تقدير الانتشار الحقيقي للمجتمع الكامل.

الصيغة

$$\vC{\text{الوسط الحسابي}} = \frac{\sum \vA{\text{الأرقام}}}{\vB{\text{العدد}}}$$ $$\vD{\text{تباين المجتمع}} = \frac{\sum (\vA{\text{الرقم}} - \vC{\text{الوسط الحسابي}})^2}{\vB{\text{العدد}}}$$ $$\vD{\text{تباين العينة}} = \frac{\sum (\vA{\text{الرقم}} - \vC{\text{الوسط الحسابي}})^2}{\vB{\text{العدد}} - 1}$$ $$\text{الانحراف المعياري} = \sqrt{\vD{\text{التباين}}}$$

المجتمع أو العينة، بما يتطابق مع التباين المستخدم.

الفرق الوحيد بين نسختي المجتمع والعينة هو القسمة على العدد نفسه مقابل العدد ناقص واحد (يُعرف بتصحيح بيسل) — كل شيء آخر متطابق.

مثال محلول

الأرقام 2 و4 و4 و4 و5 و5 و7 و9:

1. العدد: $\vB{8}$. المجموع: $\vA{40}$. الوسط الحسابي: $\vA{40} \div \vB{8} = \vC{5}$.
2. مرتبة: 2 و4 و4 و4 و5 و5 و7 و9 — الوسيط هو متوسط القيمتين الوسطيتين (4 و5): $(4 + 5) \div 2 = 4.5$.
3. المنوال: 4 (يظهر ثلاث مرات، أكثر من أي قيمة أخرى).
4. المدى: $9 - 2 = 7$.
5. الانحراف المعياري للمجتمع: 2.0. الانحراف المعياري للعينة: ≈2.14.

عوامل رئيسية يجب مراعاتها

• يمكن أن يروي الوسط الحسابي والوسيط قصصًا مختلفة جدًا عندما تحتوي مجموعة البيانات على قيم متطرفة أو تكون منحرفة. تسحب قيمة واحدة كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا الوسط الحسابي نحوها، بينما يبقى الوسيط مرتبطًا بمنتصف البيانات المرتبة بغض النظر عن القيم المتطرفة — هذا بالضبط سبب الإبلاغ عادةً عن وسيط دخل الأسرة، على سبيل المثال، بدلاً من (أو إلى جانب) متوسط الدخل، لأن حفنة من الدخول المرتفعة جدًا كانت لتحرّف الوسط الحسابي للأعلى بخلاف ذلك.
• يعتمد اختيار الانحراف المعياري للمجتمع مقابل العينة كليًا على ما تمثله أرقامك فعليًا، وليس على التفضيل. إذا كانت الأرقام المُدخلة هي المجموعة الكاملة التي تهتم بها (كل طالب في فصل محدد واحد)، استخدم المجتمع. إذا كانت عينة يُقصد بها تقدير مجموعة أكبر (استطلاع لبعض العملاء يُقصد به تمثيل جميع العملاء)، استخدم العينة — اختيار الخاطئ يُقلل أو يُبالغ بشكل منهجي في التقلب الحقيقي.
• يمكن أن تمتلك مجموعة بيانات بدون منوال، أو منوالًا واحدًا، أو عدة منوالات، على عكس الوسط الحسابي والوسيط اللذين هما دائمًا قيمتان مفردتان. إذا ظهرت كل قيمة في قائمة مرة واحدة بالضبط، فببساطة لا يوجد منوال — وإذا تعادلت قيمتان أو أكثر في التكرار الأعلى، يمكن أن تكون مجموعة البيانات فعليًا “ثنائية المنوال” أو “متعددة المنوال”، وهو ما يُعد بحد ذاته غالبًا إشارة ذات معنى حول البيانات الأساسية.
• يُفسَّر الانحراف المعياري بشكل بديهي أكثر للتوزيعات الجرسية (الطبيعية) تقريبًا، حيث يقع نحو 68% من القيم ضمن انحراف معياري واحد من الوسط الحسابي. بالنسبة للبيانات المنحرفة بشدة أو ذات شكل مختلف جدًا، يظل الانحراف المعياري مقياس انتشار صالحًا، لكن نسب “قاعدة 68-95-99.7” البديهية لا تنطبق بنفس الوضوح.

أخطاء شائعة

• استخدام الانحراف المعياري للمجتمع (أو للعينة) دائمًا من باب العادة. أيهما صحيح يعتمد كليًا على ما إذا كانت الأرقام المُدخلة هي المجموعة الكاملة أم مجرد عينة منها — اختيار الخيار الخاطئ يُقلل أو يُبالغ بشكل منهجي في التشتت الحقيقي، بغض النظر عن مدى دقة بقية الحساب.
• معاملة الوسط الحسابي على أنه “القيمة النموذجية” عندما تكون البيانات منحرفة. حفنة من الأرقام الكبيرة أو الصغيرة بشكل غير عادي تسحب الوسط الحسابي بعيدًا عن حيث تقع معظم البيانات فعليًا — غالبًا ما يكون الوسيط هو “القيمة النموذجية” الأكثر صدقًا للبيانات المنحرفة مثل الدخول أو أسعار المنازل.
• نسيان أن المنوال يمكن أن يكون فارغًا، أو مفردًا، أو متعددًا. افتراض أن كل مجموعة بيانات لها منوال واحد بالضبط يؤدي إلى الارتباك عندما لا تحتوي القائمة على قيم متكررة (لا يوجد منوال) أو عندما تتعادل عدة قيم في التكرار الأعلى (متعددة المنوال) — كلاهما نتيجتان طبيعيتان ومتوقعتان، وليستا خطأ.

من المفيد معرفته

• هل تحتاج إلى توحيد قيمة واحدة مقابل وسط حسابي وانحراف معياري معروفين بدلاً من حسابهما من قائمة؟ حاسبة درجة Z يحوّل قيمة واحدة إلى درجة معيارية (z-score) ومئين.
• هل تعمل مع رقمين فقط وتريد نسبة الفرق المئوية بينهما بدلاً من تحليل إحصائي وصفي كامل؟ حاسبة نسبة الخطأ المئوية وحاسبة النسبة المئوية يغطيان هذه الحالة الأبسط.
• هل تتساءل عن مدى احتمالية نتيجة معينة، بدلاً من مجرد وصف مجموعة بيانات لديك بالفعل؟ حاسبة الاحتمالات يحسب احتمالات الأحداث المفردة والمركبة.