Lineární Interpolace

Porovnání Výpočtů

Stažení

Zahrnuje vaše vstupy a výsledky pro tento výpočet, plus jakékoli další výpočty, které jste porovnali.

Odhad Hodnoty Mezi Dvěma Známými Body

Lineární interpolace odhaduje neznámou hodnotu mezi dvěma známými datovými body za předpokladu, že vztah mezi nimi sleduje přímku. Zadejte dva známé body (x, y) a hodnotu x, pro kterou chcete odhad, a tato kalkulačka najde odpovídající y.

Vzorec

\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

kde $(x_1, y_1)$ a $(x_2, y_2)$ jsou vaše dva známé body a $x$ je hodnota, pro kterou chcete odhad.

Řešený příklad

Auto je ve 2 hodiny na 50. kilometru, a v 5 hodin na 140. kilometru. Kde bylo ve 3,5 hodiny?

$y = 50 + (3,5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1,5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ km}}$

Klíčové Faktory ke Zvážení

Interpolace mezi dvěma body je obecně důvěryhodnější než extrapolace za jejich hranice. Cílová hodnota x, která spadá mezi vaše dva známé body, zůstává v rozsahu, ve kterém byl vztah skutečně pozorován, zatímco cíl mimo tento rozsah předpokládá, že stejný lineární trend pokračuje beze změny — předpoklad, který se stává rizikovějším, čím dál mimo známý rozsah jdete.
Tato metoda je přesná pro skutečně lineární vztah a jinak jen aproximací. Fyzikální proces s konstantní rychlostí, pevnou sazbou, nebo jakýkoli skutečně přímočarý vztah dá přesnou odpověď pomocí tohoto vzorce — ale většina reálných procesů (jako složený růst nebo zrychlení) se ve skutečnosti zakřivuje, takže čím dál od sebe jsou vaše dva známé body, tím více se lineární odhad může uprostřed odchýlit od reality.
Referenční tabulky (jako vyhledávací tabulky v inženýrství, parní tabulky, nebo pojistně-matematické tabulky) běžně spoléhají na lineární interpolaci mezi uvedenými hodnotami. Místo publikování každé možné vstupní hodnoty tabulka uvádí zvládnutelnou sadu známých bodů a očekává, že čtenář mezi nimi interpoluje — jde o jedno z nejběžnějších praktických využití přesně této techniky.
Přidání třetího známého bodu může odhalit, zda je linearita skutečně rozumným předpokladem. Pokud třetí bod, který znáte, spadá blízko přímky vedené mezi ostatními dvěma, lineární interpolace je v tomto rozsahu pravděpodobně spolehlivá — pokud spadá daleko od této přímky, podkladový vztah se pravděpodobně zakřivuje a lineární odhad by měl být brán s větší opatrností.

Časté Chyby

Extrapolace daleko za známý rozsah a zacházení s výsledkem se stejnou důvěrou jako s interpolací. Cílová hodnota mimo vaše dva známé body předpokládá, že trend pokračuje beze změny — mnohem rizikovější předpoklad než odhad hodnoty, která skutečně spadá mezi ně.
Předpoklad lineárního vztahu bez ověření, zda je skutečný proces opravdu lineární. Procesy jako složený růst nebo zrychlení se zakřivují místo toho, aby sledovaly přímku, takže lineární odhad může být znatelně chybný, zejména daleko od známých bodů.
Záměna, který známý bod je který. Prohození x1/y1 za x2/y2 ve vzorci produkuje jinou (a špatnou) směrnici — dvakrát zkontrolujte, že hodnoty x a y každého známého bodu jsou zadány společně správně.
Použití dvou známých bodů, které jsou od sebe velmi vzdálené, když podkladový vztah není lineární. Čím širší je mezera mezi vašimi dvěma body, tím více prostoru má křivka pro odchýlení od přímky je spojující — bližší, relevantnější známé body obecně produkují důvěryhodnější odhad.

Co Je Dobré Vědět

Máte několik datových bodů místo jen dvou a chcete jedinou nejlépe odpovídající přímku procházející všemi z nich? Kalkulačka Kalkulačka Regrese Metodou Nejmenších Čtverců zvládá tento širší případ.
Potřebujete směrnici mezi dvěma body místo odhadované hodnoty ve třetím bodě? Kalkulačka Kalkulačka Vzdálenosti, Středu a Sklonu to pokrývá přímo.

Zdroj: Lineární interpolace.

Často Kladené Otázky

Co je lineární interpolace?

Lineární interpolace odhaduje neznámou hodnotu mezi dvěma známými datovými body za předpokladu, že vztah mezi nimi sleduje přímku. Pokud znáte polohu auta ve 2 hodiny a v 5 hodin, lineární interpolace odhadne, kde bylo ve 3,5 hodiny, za předpokladu konstantní rychlosti po celou dobu.

Jaký je rozdíl mezi interpolací a extrapolací?

Interpolace odhaduje hodnotu, která leží MEZI vašimi dvěma známými body, což je obecně spolehlivé. Extrapolace odhaduje hodnotu MIMO tento rozsah, což předpokládá, že stejný přímkový trend pokračuje i nad rámec toho, co jste skutečně pozorovali -- čím dále jdete, tím rizikovější je tento předpoklad. Tato kalkulačka označí, o který typ se u vašeho výsledku skutečně jedná.

Kdy není lineární interpolace přesná?

Lineární interpolace předpokládá přímkový vztah mezi vašimi dvěma body. Pokud je skutečný vztah zakřivený (jako složené úročení, růst populace nebo zrychlení), přímkový odhad může být citelně nepřesný -- zvláště čím dále je vaše cílová hodnota od obou známých bodů.

Jaké jsou reálné příklady použití lineární interpolace?

Běžně se používá ke čtení hodnot z referenčních tabulek (jako jsou inženýrské vyhledávací tabulky nebo pojistně-matematické tabulky), které uvádějí jen omezenou sadu známých bodů, k odhadu chybějícího datového bodu v časové řadě, a v počítačové grafice k plynulému přechodu mezi dvěma hodnotami (jako jsou barvy nebo pozice) v daném rozsahu.

Jak poznám, zda je přímkový odhad pro má data rozumný?

Pokud máte třetí známý bod, zkontrolujte, jak blízko leží přímce vedené mezi vašimi dalšími dvěma body. Blízká shoda naznačuje, že vztah je v tomto rozsahu skutečně přibližně lineární; velký rozdíl naznačuje, že se skutečný vztah zakřivuje, a odhad lineární interpolace by měl být brán s větší opatrností.