Regrese Metodou Nejmenších Čtverců

Porovnání Výpočtů

Stažení

Zahrnuje vaše vstupy a výsledky pro tento výpočet, plus jakékoli další výpočty, které jste porovnali.

Proložení Přímky Roztroušenými Datovými Body

Regrese metodou nejmenších čtverců najde jedinou přímku, která nejlépe odpovídá rozptýleným datovým bodům. Zadejte seznam dvojic x, y — jednu na řádek — a tato kalkulačka najde směrnici a úsek přímky, spolu s tím, jak těsně body ve skutečnosti tuto přímku sledují.

Vzorec

\vC{m} = \frac{n\sum{xy} - \sum{x}\sum{y}}{n\sum{x^2} - \left(\sum{x}\right)^2}

\vC{b} = \frac{\sum{y} - m\sum{x}}{n}

kde $m$ je směrnice, $b$ je úsek a $n$ je počet datových bodů — společně popisují přímku $y = mx + b$ , která minimalizuje celkovou druhou mocninu vzdálenosti každého bodu od přímky.

Řešený příklad

Proložení přímky body (1, 1), (2, 2) a (3, 4):

$m = \frac{3(17) - 6(7)}{3(14) - 6^2} = \frac{51 - 42}{42 - 36} = \frac{9}{6} = \vC{1,5}$
$b = \frac{7 - 1,5(6)}{3} = \frac{7 - 9}{3} = \vC{-0,667}$ — proložená přímka je tedy $y = 1,5x - 0,667$ , s korelačním koeficientem přibližně $0,98$ .

Klíčové Faktory ke Zvážení

Silný korelační koeficient nutně neznamená, že x skutečně způsobuje y. Dvě proměnné mohou být silně korelované, protože jedna skutečně ovlivňuje druhou, protože obě jsou řízeny třetím faktorem, nebo čistě náhodou v malém datovém souboru — korelace popisuje sílu lineárního vztahu, ne důvod za ním.
Tato metoda předpokládá, že skutečný vztah je lineární, což není vždy správný předpoklad. Pokud rozptýlené body ve skutečnosti sledují křivku, vynucení přímky skrz ně může vytvořit technicky „nejlépe odpovídající” přímku, která přesto data popisuje špatně — vizuální vykreslení bodů před důvěrou v proložení je dobrá praxe.
Jeden neobvyklý bod (odlehlá hodnota) může nepřiměřeně přitáhnout proloženou přímku k sobě. Protože metoda nejmenších čtverců minimalizuje DRUHÉ MOCNINY vzdáleností, bod daleko od obecného trendu přispívá k proložení mnohem více než bod blízko něj — malý datový soubor s jednou extrémní odlehlou hodnotou je na to zvlášť citlivý.
Více datových bodů obecně vytváří spolehlivější proložení, za jinak stejných podmínek. Přímka proložená jen 3-4 body (jako v řešeném příkladu) může vypadat přesvědčivě, ale nese mnohem víc nejistoty než stejný vztah měřený napříč desítkami bodů — samotná síla korelace nezachycuje, kolik dat proložení skutečně podporuje.

Časté Chyby

Považování vysokého korelačního koeficientu za důkaz příčinné souvislosti. Silná hodnota r ukazuje pouze to, že se body těsně shlukují kolem přímky — nic neříká o tom, zda jedna proměnná skutečně způsobuje změny v druhé.
Proložení přímky daty, která jsou ve skutečnosti zakřivená. Metoda nejmenších čtverců vždy vrátí směrnici a úsek, i když lineární proložení špatně popisuje základní vzor — nejprve vykreslete body, nebo zkontrolujte, zda není korelační koeficient překvapivě nízký, než budete výsledku důvěřovat.
Použití příliš málo datových bodů a považování proložení za spolehlivé. Přímka jen přes 3-4 body může vypadat přesvědčivě, ale nese mnohem více nejistoty než stejný vztah měřený napříč desítkami bodů.
Nechání jedné odlehlé hodnoty nepozorovaně ovládnout proložení. Protože metoda nejmenších čtverců minimalizuje druhé mocniny vzdáleností, jeden vzdálený bod může přitáhnout celou přímku k sobě — stojí za to zkontrolovat, zda odstranění neobvyklého bodu podstatně mění výsledek.

Co Je Dobré Vědět

Potřebujete odhadnout hodnotu mezi dvěma známými body místo proložení trendové přímky přes mnoho bodů? Kalkulačka Kalkulačka Lineární Interpolace pokrývá tento přímější případ.
Chcete vidět, jak se jedna konkrétní hodnota porovnává s celkovým rozptylem datového souboru? Kalkulačka Kalkulačka Z-Skóre měří přesně to.
Pracujete se stejným seznamem čísel pro širší souhrnné statistiky? Kalkulačka Kalkulačka Statistiky pokrývá průměr, medián, a směrodatnou odchylku.

Zdroj: Jednoduchá lineární regrese.

Často Kladené Otázky

Co je regrese metodou nejmenších čtverců?

Regrese metodou nejmenších čtverců najde jedinou přímku, která nejlépe odpovídá rozptýleným datovým bodům, minimalizací součtu druhých mocnin svislých vzdáleností mezi každým bodem a přímkou. Je to standardní metoda pro popis lineárního vztahu mezi dvěma proměnnými.

Co znamenají směrnice a úsek?

Směrnice udává, o kolik se změní y při každém zvýšení x o 1 jednotku -- směrnice 2 znamená, že y stoupne o 2 pokaždé, když x stoupne o 1. Úsek je predikovaná hodnota y na přímce, když je x rovno 0, tedy místo, kde přímka protíná svislou osu.

Co mi říká korelační koeficient (r)?

Korelační koeficient se pohybuje od -1 do 1 a měří, jak těsně se body seskupují kolem proložené přímky. Hodnota blízká 1 znamená silný pozitivní vztah (s rostoucím x spolehlivě roste i y), blízká -1 znamená silný negativní vztah a blízká 0 znamená malý nebo žádný lineární vztah. R-kvadrát (r²) je jednoduše r vynásobené sebou samým a často se čte jako „procento variace y vysvětlené x“.

Znamená silná korelace, že x způsobuje y?

Ne — korelace měří jen to, jak silně se dvě proměnné pohybují společně, ne proč. Silná korelace může odrážet skutečnou příčinnou souvislost, společnou skrytou příčinu ovlivňující obě proměnné, nebo prostou náhodu, zejména u malého souboru dat. Neberte vysoký korelační koeficient sám o sobě jako důkaz příčinného vztahu.

Co když moje data ve skutečnosti nesledují přímku?

Regrese metodou nejmenších čtverců vždy proloží přímku, i k datům, která ve skutečnosti sledují křivku — stále vrátí směrnici, úsek a korelační koeficient, ale ty mohou vztah popisovat špatně. Vynesení bodů do grafu předem, nebo kontrola, zda není korelační koeficient neočekávaně nízký, může upozornit na to, že lineární proložení není pro vaše data vhodným nástrojem.