Lineær Interpolation

Estimering af en Værdi Mellem To Kendte Punkter

Lineær interpolation estimerer en ukendt værdi mellem to kendte datapunkter ved at antage, at sammenhængen mellem dem følger en ret linje. Indtast to kendte punkter (x, y) og den x-værdi, du ønsker en estimeret y for, og denne beregner finder den tilsvarende y.

Formlen

$$\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

hvor $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ er dine to kendte punkter, og $x$ er den værdi, du ønsker en estimering for.

Løst Eksempel

En bil er 50 miles væk kl. 2, og 140 miles væk kl. 5. Hvor var den kl. 3,5?

1. $y = 50 + (3,5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1,5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ miles}}$

Vigtige Faktorer At Overveje

• At interpolere mellem to punkter er generelt mere pålideligt end at ekstrapolere ud over dem. En målværdi for x, der falder mellem dine to kendte punkter, holder sig inden for det interval, sammenhængen faktisk er observeret i, mens en målværdi uden for det interval antager, at den samme lineære tendens fortsætter uændret — en antagelse, der bliver mere risikabel, jo længere uden for det kendte interval man går.
• Denne metode er eksakt for en reelt lineær sammenhæng, og kun en tilnærmelse ellers. En fysisk proces med konstant hastighed, en fast rate eller enhver reelt retlinjet sammenhæng giver et eksakt svar gennem denne formel — men de fleste virkelige processer (som renters rente eller acceleration) krummer faktisk, så jo længere fra hinanden dine to kendte punkter er, jo mere kan et lineært estimat afvige fra virkeligheden midt imellem dem.
• Referencetabeller (som opslagstabeller inden for teknik, dampbetatabeller eller aktuartabeller) benytter ofte lineær interpolation mellem opførte værdier. I stedet for at udgive enhver mulig inputværdi, opfører en tabel et overskueligt sæt kendte punkter og forventer, at læseren interpolerer mellem dem — dette er en af de mest almindelige praktiske anvendelser af netop denne teknik.
• Et tredje kendt punkt kan afsløre, om linearitet faktisk er en rimelig antagelse. Hvis et tredje punkt, du kender, falder tæt på linjen tegnet mellem de to andre, er lineær interpolation sandsynligvis pålidelig i det interval — hvis det falder langt fra den linje, krummer den underliggende sammenhæng sandsynligvis, og et lineært estimat bør behandles med mere forsigtighed.

Almindelige Fejl

• At ekstrapolere langt uden for det kendte interval og behandle resultatet med samme tillid som interpolation. En målværdi uden for dine to kendte punkter antager, at tendensen fortsætter uændret — en langt mere risikabel antagelse end at estimere en værdi, der faktisk falder mellem dem.
• At antage en lineær sammenhæng uden at kontrollere, om den reelle proces faktisk er lineær. Processer som renters rente eller acceleration krummer i stedet for at følge en ret linje, så et lineært estimat kan være mærkbart forkert, især langt fra de kendte punkter.
• At forveksle, hvilket kendt punkt der er hvilket. At ombytte x1/y1 med x2/y2 i formlen giver en anden (og forkert) hældning — dobbelttjek, at hvert kendt punkts x- og y-værdier er indtastet korrekt sammen.
• At bruge to kendte punkter, der ligger meget langt fra hinanden, når den underliggende sammenhæng ikke er lineær. Jo bredere afstanden mellem dine to punkter er, jo mere plads er der for en kurve til at afvige fra den rette linje, der forbinder dem — tættere, mere relevante kendte punkter giver generelt et mere pålideligt estimat.

Godt At Vide

• Har du flere datapunkter i stedet for bare to, og vil du have den ene bedst tilpassede linje gennem dem alle? Mindste Kvadraters Regression Beregner-beregneren håndterer det bredere tilfælde.
• Har du brug for hældningen mellem to punkter i stedet for en estimeret værdi ved et tredje? Afstand, Midtpunkt & Hældning Beregner -beregneren dækker det direkte.