Mindste Kvadraters Regression

Sammenlign Beregninger

Downloads

Inkluderer dine input og resultater for denne beregning, plus eventuelle yderligere beregninger du har sammenlignet.

Tilpasning af en Linje til Spredte Datapunkter

Mindste kvadraters regression finder den ene rette linje, der bedst passer til en spredning af datapunkter. Indtast en liste af x, y-par — ét pr. linje — og denne beregner finder linjens hældning og skæringspunkt, samt hvor tæt punkterne rent faktisk følger den linje.

Formlen

\vC{m} = \frac{n\sum{xy} - \sum{x}\sum{y}}{n\sum{x^2} - \left(\sum{x}\right)^2}

\vC{b} = \frac{\sum{y} - m\sum{x}}{n}

hvor $m$ er hældningen, $b$ er skæringspunktet, og $n$ er antallet af datapunkter — sammen beskriver de linjen $y = mx + b$ , der minimerer den samlede kvadrerede afstand fra hvert punkt til linjen.

Løst Eksempel

Tilpasning af en linje gennem (1, 1), (2, 2) og (3, 4):

$m = \frac{3(17) - 6(7)}{3(14) - 6^2} = \frac{51 - 42}{42 - 36} = \frac{9}{6} = \vC{1,5}$
$b = \frac{7 - 1,5(6)}{3} = \frac{7 - 9}{3} = \vC{-0,667}$ — den tilpassede linje er derfor $y = 1,5x - 0,667$ , med en korrelationskoefficient på omkring $0,98$ .

Vigtige Faktorer At Overveje

En stærk korrelationskoefficient betyder ikke nødvendigvis, at x faktisk forårsager y. To variable kan være stærkt korrelerede, fordi den ene reelt påvirker den anden, fordi begge drives af en tredje faktor, eller rent ved tilfældighed i et lille datasæt — korrelation beskriver styrken af en lineær sammenhæng, ikke årsagen bag den.
Denne metode antager, at den sande sammenhæng er lineær, hvilket ikke altid er den rigtige antagelse. Hvis en spredning af punkter faktisk følger en kurve, kan det at tvinge en ret linje igennem den producere en teknisk “bedst tilpasset” linje, der stadig beskriver dataene dårligt — det er god praksis at plotte punkterne visuelt, inden man stoler på tilpasningen.
Et enkelt usædvanligt punkt (en afviger) kan trække den tilpassede linje uforholdsmæssigt meget mod sig. Fordi mindste kvadraters metode minimerer KVADREREDE afstande, bidrager et punkt langt fra den generelle tendens meget mere til tilpasningen end et punkt tæt på den — et lille datasæt med én ekstrem afviger er særligt sårbart over for dette.
Flere datapunkter giver generelt en mere pålidelig tilpasning, alt andet lige. En linje tilpasset gennem kun 3-4 punkter (som i det løste eksempel) kan se overbevisende ud, men bærer meget mere usikkerhed end den samme sammenhæng målt på tværs af dusinvis af punkter — korrelationsstyrken alene fanger ikke, hvor meget data der reelt understøtter tilpasningen.

Almindelige Fejl

At behandle en høj korrelationskoefficient som bevis på årsagssammenhæng. En stærk r-værdi viser kun, at punkterne klumper sig tæt sammen omkring en linje — den siger intet om, hvorvidt den ene variabel faktisk forårsager ændringer i den anden.
At tilpasse en ret linje til data, der faktisk er kurvet. Mindste kvadraters metode returnerer altid en hældning og et skæringspunkt, selv når en lineær tilpasning beskriver det underliggende mønster dårligt — plot punkterne først, eller tjek om korrelationskoefficienten er overraskende lav, før du stoler på resultatet.
At bruge for få datapunkter og behandle tilpasningen som pålidelig. En linje gennem bare 3-4 punkter kan se overbevisende ud, men bærer langt mere usikkerhed end den samme sammenhæng målt på tværs af dusinvis af punkter.
At lade en enkelt afviger dominere tilpasningen uden at bemærke det. Fordi mindste kvadraters metode minimerer kvadrerede afstande, kan ét fjerntliggende punkt trække hele linjen mod sig — det er værd at tjekke, om fjernelse af et usædvanligt punkt ændrer resultatet væsentligt.

Godt At Vide

Har du brug for at estimere en værdi mellem to kendte punkter i stedet for at tilpasse en trendlinje gennem mange? Lineær Interpolation Beregner dækker det mere direkte tilfælde.
Vil du se, hvordan én bestemt værdi sammenlignes med den samlede spredning af et datasæt? Z-Score Beregner måler netop det.
Arbejder du med den samme liste af tal for bredere opsummerende statistik? Statistik Beregner dækker gennemsnit, median, og standardafvigelse.

Kilde: Simpel Lineær Regression.

Ofte Stillede Spørgsmål

Hvad er mindste kvadraters regression?

Mindste kvadraters regression finder den ene rette linje, der bedst passer til en spredning af datapunkter, ved at minimere summen af de kvadrerede lodrette afstande mellem hvert punkt og linjen. Det er standardmetoden til at beskrive en lineær sammenhæng mellem to variable.

Hvad betyder hældning og skæringspunkt?

Hældningen fortæller dig, hvor meget y ændrer sig for hver 1-enheds stigning i x -- en hældning på 2 betyder, at y stiger med 2, hver gang x stiger med 1. Skæringspunktet er linjens forudsagte y-værdi, når x er 0, hvilket er der, hvor linjen krydser den lodrette akse.

Hvad fortæller korrelationskoefficienten (r) mig?

Korrelationskoefficienten går fra -1 til 1 og måler, hvor tæt punkterne samler sig om den tilpassede linje. En værdi tæt på 1 betyder en stærk positiv sammenhæng (når x stiger, stiger y også pålideligt), tæt på -1 betyder en stærk negativ sammenhæng, og tæt på 0 betyder ringe eller ingen lineær sammenhæng. Forklaringsgraden (r²) er blot r ganget med sig selv, og læses ofte som "den procentdel af variationen i y, der forklares af x".

Betyder en stærk korrelation, at x forårsager y?

Nej -- korrelation måler kun, hvor stærkt to variable bevæger sig sammen, ikke hvorfor. En stærk korrelation kan afspejle reel årsagssammenhæng, en fælles underliggende årsag, der påvirker begge variable, eller ren tilfældighed, især i et lille datasæt. Betragt ikke en høj korrelationskoefficient alene som bevis på en årsagssammenhæng.

Hvad hvis mine data ikke faktisk følger en ret linje?

Mindste kvadraters regression tilpasser altid en ret linje, selv til data, der reelt følger en kurve -- den vil stadig returnere en hældning, et skæringspunkt og en korrelationskoefficient, men de kan beskrive sammenhængen dårligt. At plotte dine punkter først, eller tjekke om korrelationskoefficienten er uventet lav, kan afsløre, når en lineær tilpasning er det forkerte værktøj til dine data.