Sandsynlighed

Sådan Findes Chancen for en Hændelse, Alene eller Kombineret

Sandsynlighed måler, hvor sandsynlig en hændelse er, som et tal mellem 0 (umuligt) og 1 (sikkert). Indtast et antal gunstige og samlede udfald for at finde en enkelt hændelses sandsynlighed og dens komplement, eller indtast to uafhængige hændelsers sandsynligheder for at finde chancen for, at begge sker, at en af dem sker, eller at ingen af dem sker.

Formlen

Enkelt hændelse:

$$\vC{\text{Sandsynlighed}} = \frac{\text{Gunstige Udfald}}{\text{Samlede Udfald}}$$

Komplementet (chancen for, at hændelsen IKKE sker) er altid $1 - \vC{\text{Sandsynlighed}}$.

To uafhængige hændelser (hvor den ene hændelse sker uden at ændre chancen for den anden):

• $P(\text{begge sker}) = P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$
• $P(\text{en af dem sker}) = P(\vA{A}) + P(\vB{B}) - P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$ — at lægge de to direkte sammen ville dobbelttælle overlappet, hvor begge sker, så det trækkes fra igen én gang (inklusion-eksklusion-princippet).
• $P(\text{ingen af dem sker}) = (1 - P(\vA{A})) \times (1 - P(\vB{B}))$

Eksempel

Enkelt hændelse: at slå et lige tal med en standard 6-sidet terning.

1. Gunstige udfald: 3 (2, 4, 6) ud af 6 i alt: $3 \div 6 = \vC{50\%}$.
2. Komplement: $1 - \vC{50\%} = 50\%$ (at slå et ulige tal).

To uafhængige hændelser: at kaste en mønt og få plat (P = 50%) OG at slå en terning og få en 6 (P ≈ 16,67%):

1. P(begge) = 0,5 × 0,1667 ≈ 8,33%
2. P(en af dem) = 0,5 + 0,1667 − 0,0833 ≈ 58,33%
3. P(ingen af dem) = 0,5 × 0,8333 ≈ 41,67%

Vigtige Faktorer At Overveje

• Formlerne for uafhængige hændelser her gælder kun, når den ene hændelses udfald reelt ikke påvirker den anden. Et møntkast og et terningkast er klassiske uafhængige hændelser — men at trække to kort fra et spil UDEN tilbagelægning er IKKE uafhængigt, da fjernelse af det første kort ændrer oddsene for det andet. At anvende disse formler på afhængige hændelser giver et forkert resultat.
• En sandsynlighed på 0 betyder umuligt, og 1 betyder sikkert — enhver reel sandsynlighed falder et sted mellem disse to yderpunkter. Denne 0-til-1-skala (eller tilsvarende 0% til 100%) er den universelle konvention på tværs af sandsynlighed og statistik, hvilket er grunden til, at denne beregners resultater altid falder inden for det interval.
• “Spillerens fejlslutning” er en almindelig misforståelse, denne beregners matematik direkte modsiger. At tro, at en fair mønt er “moden” til plat efter flere krone i træk, misforstår uafhængighed — hvert kast har præcis den samme 50%-sandsynlighed uanset, hvad der skete før, da tidligere kast ikke har nogen faktisk effekt på en fair mønts næste resultat.
• Klassisk sandsynlighed (gunstige udfald divideret med samlede udfald) antager, at hvert udfald er lige sandsynligt. Denne antagelse holder for en fair terning eller en fair mønt, men ikke for ethvert virkeligt scenarie — en vægtet terning eller en skæv mønt ville have brug for faktiske observerede frekvenser i stedet for denne simple tællemetode for at estimere dens sande sandsynligheder.

Almindelige Fejl

• At bruge formlerne for uafhængige hændelser på hændelser, der reelt ikke er uafhængige. At trække to kort fra et spil uden at lægge det første tilbage er et klassisk eksempel — fjernelse af det første kort ændrer oddsene for det andet, så at behandle dem som uafhængige over- eller undervurderer den reelle kombinerede sandsynlighed.
• At lægge P(A) og P(B) simpelthen sammen for at finde chancen for, at en af dem sker. Det dobbelttæller tilfældet, hvor begge sker — overlappet skal trækkes fra igen én gang, hvilket er præcis, hvad inklusion-eksklusion-formlen ovenfor gør.
• At tro, at en fair mønt eller terning er “moden” til et bestemt resultat efter en stribe. Hvert uafhængigt kast har præcis den samme sandsynlighed hver gang, uanset hvad der skete ved tidligere kast — denne misforståelse (“spillerens fejlslutning”) modsiges direkte af den uafhængighedsantagelse, disse formler bygger på.

Godt At Vide

• Arbejder du med et helt datasæt af tal i stedet for en enkelt sandsynlighed? Statistik Beregner beregner gennemsnit, median, typetal og standardafvigelse.
• Har du brug for at tælle arrangementer eller udvælgelser i stedet for en sandsynlighed? Permutation og Kombination Beregner beregner permutationer og kombinationer.
• Vil du prøve at kaste rigtige terninger i stedet for blot at beregne oddsene? Terningkast Beregner kaster et vilkårligt antal terninger med et vilkårligt antal sider.