Z-Score

Standardisering af en Værdi Mod en Fordelings Middelværdi

En z-score måler, hvor mange standardafvigelser en værdi sidder over eller under en fordelings middelværdi. Indtast en værdi, fordelingens middelværdi, og dens standardafvigelse for at finde z-scoren og den tilsvarende percentil — hvor stor en andel af en normalfordeling falder ved eller under den værdi.

En z-score på 0 betyder, at værdien er præcis lig med middelværdien. Positive z-scorer er over middelværdien; negative z-scorer er under den. Fordi omkring 68% af en normalfordeling falder inden for 1 standardafvigelse af middelværdien, 95% inden for 2, og 99,7% inden for 3, giver en z-score alene en øjeblikkelig fornemmelse af, hvor usædvanlig en værdi er.

Formlen

$$\text{Z-Score} = \frac{\vA{\text{Værdi}} - \vB{\text{Middelværdi}}}{\vC{\text{Standardafvigelse}}}$$

Percentilen kommer fra standardnormalfordelingens kumulative fordelingsfunktion — sandsynligheden for, at en tilfældigt trukket værdi fra den fordeling falder ved eller under den indtastede z-score, beregnet her via en veletableret polynomiel tilnærmelse af fejlfunktionen.

Eksempel

En IQ-score på 115, hvor IQ-scorer har en middelværdi på 100 og en standardafvigelse på 15:

1. Z-score: $\vA{115} - \vB{100} = 15$, derefter $15 \div \vC{15} = 1,0$.
2. Percentil: en z-score på præcis 1 svarer til 84,13. percentil — denne værdi er højere end omkring 84% af fordelingen.

Vigtige Faktorer At Overveje

• Denne beregning forudsætter, at den underliggende fordeling er genuint normal (klokkeformet), hvilket ikke er sandt for ethvert reelt datasæt. Mange virkelighedsmålinger (som højde eller IQ-scorer) tilnærmer en normalfordeling tæt nok til, at dette fungerer godt, men en fordeling, der er kraftigt skæv eller har flere toppe, vil ikke få sin percentil nøjagtigt beskrevet af den standardnormalkurve, denne beregner bygger på.
• En z-score standardiserer værdier fra forskellige fordelinger til den samme sammenlignelige skala. Dette er præcis, hvad der gør z-scorer nyttige til at sammenligne en værdis relative placering på tværs af to forskellige målinger med forskellige middelværdier og standardafvigelser — som at sammenligne en testscore på én eksamen med en anden eksamen med en anden pointskala.
• Denne beregner beregner en ENSIDET percentil (andelen af fordelingen ved eller under en værdi), hvilket er forskelligt fra en tosidet (begge-haler) sandsynlighed. Afhængigt af det spørgsmål, der stilles — “hvor stor en andel scorede lavere end mig” versus “hvor usædvanlig er denne værdi i begge retninger” — kan det relevante tal at bruge variere, og det er værd at være tydelig om, hvilket et specifikt anvendelsestilfælde faktisk har brug for.
• Z-score-beregneren og Statistik-beregneren besvarer beslægtede, men reelt forskellige spørgsmål. Statistik-beregneren beregner et datasæts EGEN middelværdi og standardafvigelse ud fra rå tal, mens denne beregner scorer ÉN værdi mod en ALLEREDE KENDT fordelings middelværdi og standardafvigelse — de to bruges ofte sammen, først ved at beregne en fordelings parametre, og derefter score individuelle værdier mod den.

Almindelige Fejl

• At bruge en stikprøvestatistik, som var den den sande populations middelværdi/ standardafvigelse. En middelværdi og standardafvigelse estimeret fra en lille stikprøve bærer deres egen usikkerhed — at behandle dem som eksakte populationsparametre kan få en percentil til at fremstå mere præcis, end den reelt er.
• At antage, at de underliggende data er normalfordelte uden at tjekke det. Percentil- omregningen holder kun for genuint klokkeformede data — for en skæv eller multi-toppet fordeling er den beregnede z-score stadig gyldig, men percentiltallet, der kommer ud af den, kan være stærkt misvisende.
• At forveksle en ensidet percentil med en tosidet (begge-haler) sandsynlighed. “Hvor stor en andel scorede lavere end mig” og “hvor usædvanlig er denne værdi i begge retninger” er forskellige spørgsmål med forskellige svar — at bruge det forkerte for den aktuelle situation fører til fejlfortolkning af resultatet.

Godt At Vide

• Har du brug for middelværdien og standardafvigelsen til at indtaste her i første omgang? Statistik Beregner beregner begge direkte ud fra en rå liste af tal.
• Vil du udtrykke, hvor sikkert et estimat er, i stedet for at score en enkelt værdi? Konfidensinterval Beregner bygger et interval omkring en stikprøvestatistik i stedet for en enkelt standardiseret score.