Bruch

Rechnen mit Brüchen

Das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren oder Dividieren zweier Brüche kombiniert sie zu einem einzigen vereinfachten Ergebnis. Geben Sie zwei Brüche ein und wählen Sie eine Operation, und dieser Rechner liefert das vereinfachte Ergebnis, dessen Dezimaläquivalent und eine gemischte Zahlform, wenn das Ergebnis ein unechter Bruch ist (Zähler größer als Nenner). Jeder Bruch hat auch ein optionales Ganzzahlfeld, sodass eine gemischte Zahl wie 1 1/2 direkt eingegeben werden kann, statt sie zuerst in den unechten Bruch 3/2 umzuwandeln.

Ein zweiter Modus, „Eine Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln“, geht in die andere Richtung: Geben Sie eine beliebige Dezimalzahl ein und erhalten Sie den einfachsten entsprechenden Bruch zurück — nützlich, um ein Maß oder die Dezimalausgabe eines Rechners in einen Bruch umzuwandeln, den Sie tatsächlich auf einem Maßband oder in einem Rezept markieren können.

Die Formel

Addieren oder Subtrahieren findet zuerst einen gemeinsamen Nenner durch Kreuzmultiplikation:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} + \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vD{d} + \vC{c} \times \vB{b}}{\vB{b} \times \vD{d}}$$

Multiplizieren multipliziert direkt über Kreuz:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} \times \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vC{c}}{\vB{b} \times \vD{d}}$$

Dividieren multipliziert mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} \div \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vD{d}}{\vB{b} \times \vC{c}}$$

Jedes Ergebnis wird dann auf seine einfachste Form reduziert, indem Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler geteilt werden.

Das Umwandeln einer Dezimalzahl in einen Bruch verwendet eine Kettenbruchentwicklung — die Standardmethode, um den einfachsten Bruch zu finden, der einer gegebenen Dezimalzahl nahe kommt, statt einfach die Ziffern nach dem Komma abzulesen (was eine periodische Dezimalzahl wie 0,333333 in einen unschönen Bruch wie 333333/1000000 verwandeln würde, statt in das tatsächliche 1/3, das sie annähert).

Beispielrechnung

Addition von 1/2 und 1/3:

1. Gemeinsamer Nenner: $2 \times 3 = 6$.
2. Zähler: $1 \times 3 + 1 \times 2 = 5$.
3. Ergebnis: $\frac{5}{6}$ (bereits in einfachster Form) — etwa 0,8333.

Die Addition von 1/2 und 2/3 ergibt stattdessen einen unechten Bruch: $\frac{7}{6}$, den dieser Rechner auch als gemischte Zahl 1 1/6 anzeigt.

Wichtige Einflussfaktoren

• Das Kürzen auf den kleinsten Nenner ergibt immer einen gleichwertigen Wert, keine bloß „sauberer aussehende” Zahl. Das Kürzen von 5/10 auf 1/2 ändert nicht, welchen Bruchteil eines Ganzen es darstellt — beide beschreiben exakt dieselbe Menge, nur mit kleineren Zahlen ausgedrückt, weshalb die gekürzte Form aus Konvention bevorzugt wird, nicht aus Notwendigkeit.
• Über Kreuz multiplizieren funktioniert zum Addieren oder Subtrahieren für beliebige zwei Brüche, ist aber nicht immer die effizienteste Methode. Das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden (statt einfach die beiden Nenner miteinander zu multiplizieren, wie es der Über-Kreuz- Ansatz dieses Rechners vor dem Kürzen tut) kann manchmal kleinere Zwischenzahlen ergeben — aber beide Methoden führen immer zum selben endgültigen, gekürzten Ergebnis.
• Ein negativer Bruch folgt denselben Regeln, wobei das Vorzeichen durch jede Operation verfolgt wird. Das Multiplizieren oder Dividieren von Brüchen mit unterschiedlichen Vorzeichen (einer positiv, einer negativ) ergibt ein negatives Ergebnis, nach denselben Vorzeichenregeln wie bei gewöhnlicher Multiplikation und Division.
• Das Dividieren durch einen Bruch entspricht dem Multiplizieren mit seinem Kehrwert, eine Regel, die es wert ist, über diesen Rechner hinaus zu behalten. Diese „umdrehen und multiplizieren”- Abkürzung für die Bruchdivision ergibt sich direkt aus der Definition der Division als Umkehrung der Multiplikation und gilt unabhängig davon, ob Sie von Hand oder mit einem Werkzeug wie diesem rechnen.

Häufige Fehler

• Brüche addieren oder subtrahieren, indem Zähler und Nenner direkt kombiniert werden. Wie oben behandelt, brauchen Brüche einen gemeinsamen Nenner, bevor die Zähler kombiniert werden können — 1/2 + 1/3 als (1+1)/(2+3) zu addieren ergibt die falsche Antwort (2/5) statt der richtigen 5/6.
• Vergessen, das endgültige Ergebnis zu kürzen. Wie oben behandelt, ist eine ungekürzte Antwort wie 4/8 mathematisch korrekt, aber nicht in der konventionell einfachsten Form (1/2), die in den meisten Kontexten erwartet wird — immer durch den größten gemeinsamen Teiler kürzen, bevor ein Ergebnis als endgültig behandelt wird.
• Beim Dividieren den falschen Bruch umdrehen. Wie oben behandelt, bedeutet das Dividieren durch einen Bruch, mit dessen Kehrwert zu multiplizieren — den ersten statt den zweiten Bruch umzudrehen ergibt den Kehrwert der richtigen Antwort, nicht die Antwort selbst.
• Eine Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln, indem einfach die Ziffern nach dem Komma abgelesen werden. Wie oben behandelt, funktioniert das bei einer endlichen Dezimalzahl, erzeugt aber bei einer periodischen einen unnötig großen, ungekürzten Bruch — 0,333333 wörtlich gelesen wird zu 333333/1000000 statt zum tatsächlichen 1/3, das sie annähert.

Wissenswertes

• Eine gemischte Zahl und ihre unechte-Bruch-Form stellen immer denselben Wert dar — 1 1/2 und 3/2 sind zwei verschiedene Arten, dieselbe Menge zu schreiben, nützlich für unterschiedliche Kontexte (ein Rezept liest sich natürlicher als gemischte Zahl, während weitere Rechnungen mit einem unechten Bruch oft einfacher sind).
• Der größte gemeinsame Teiler, der zum Kürzen eines Bruchs verwendet wird, ist derselbe ggT, den der ggT/kgV-Rechner berechnet — es lohnt sich, dort nachzusehen, wenn Sie diesen Schritt separat ausgearbeitet sehen möchten.
• Dieser Rechner passt natürlich zum Verhältnisrechner (zum Vergleichen zweier Größen statt sie zu kombinieren) und zum Rechner für Schriftliche Division (für den Divisionsprozess, aus dem das Dezimaläquivalent eines Bruchs stammt).