Statistik

So Finden Sie Mittelwert, Median, Modus und Streuung

Dieser Rechner findet Mittelwert, Median, Modus, Spannweite, Varianz und Standardabweichung einer beliebigen Zahlenliste. Fügen Sie Ihre Zahlen in das untenstehende Feld ein oder tippen Sie sie ein — getrennt durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche, in beliebiger Kombination — und jede gängige deskriptive Statistik wird auf einmal berechnet.

Mittelwert ist der arithmetische Durchschnitt. Median ist der mittlere Wert, wenn die Zahlen sortiert sind (oder der Durchschnitt der beiden mittleren Werte, bei einer Liste gerader Größe). Modus ist der Wert (oder die Werte), der am häufigsten vorkommt — wenn jede Zahl genau einmal vorkommt, gibt es keinen Modus.

Standardabweichung misst, wie stark die Zahlen um den Mittelwert gestreut sind — eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Zahlen eng beieinanderliegen; eine große bedeutet, dass sie weit gestreut sind. Dieser Rechner meldet sie auf zwei Arten: Populations-Standardabweichung (wenn Ihre Zahlen die gesamte Gruppe sind, die Sie interessiert) und Stichproben-Standardabweichung (wenn Ihre Zahlen eine Stichprobe sind, die verwendet wird, um eine größere Population zu schätzen) — die Stichproben-Version ist etwas größer und korrigiert dafür, dass eine Stichprobe dazu neigt, die wahre Streuung der vollständigen Population zu unterschätzen.

Die Formel

$$\vC{\text{Mittelwert}} = \frac{\sum \vA{\text{Zahlen}}}{\vB{\text{Anzahl}}}$$ $$\vD{\text{Populations-Varianz}} = \frac{\sum (\vA{\text{Zahl}} - \vC{\text{Mittelwert}})^2}{\vB{\text{Anzahl}}}$$ $$\vD{\text{Stichproben-Varianz}} = \frac{\sum (\vA{\text{Zahl}} - \vC{\text{Mittelwert}})^2}{\vB{\text{Anzahl}} - 1}$$ $$\text{Standardabweichung} = \sqrt{\vD{\text{Varianz}}}$$

Population oder Stichprobe, passend zu welcher Varianz verwendet wird.

Der einzige Unterschied zwischen der Populations- und der Stichproben-Version ist die Teilung durch die Anzahl selbst versus die Anzahl minus eins (bekannt als Bessel-Korrektur) — alles andere ist identisch.

Beispielrechnung

Die Zahlen 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9:

1. Anzahl: $\vB{8}$. Summe: $\vA{40}$. Mittelwert: $\vA{40} \div \vB{8} = \vC{5}$.
2. Sortiert: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — der Median ist der Durchschnitt der beiden mittleren Werte (4 und 5): $(4 + 5) \div 2 = 4,5$.
3. Modus: 4 (erscheint dreimal, öfter als jeder andere Wert).
4. Spannweite: $9 - 2 = 7$.
5. Populations-Standardabweichung: 2,0. Stichproben-Standardabweichung: ≈2,14.

Wichtige Einflussfaktoren

• Mittelwert und Median können bei einem Datensatz mit Ausreißern oder Schiefe sehr unterschiedliche Geschichten erzählen. Ein einzelner sehr großer oder sehr kleiner Wert zieht den Mittelwert zu sich hin, während der Median unabhängig von Extremwerten in der Mitte der sortierten Daten verankert bleibt — genau deshalb wird beispielsweise das mittlere Haushaltseinkommen üblicherweise statt (oder zusätzlich zu) dem Durchschnittseinkommen berichtet, da eine Handvoll sehr hoher Einkommen den Mittelwert sonst nach oben verzerren würde.
• Die Wahl zwischen Populations- und Stichproben-Standardabweichung hängt vollständig davon ab, was Ihre Zahlen tatsächlich darstellen, nicht von Vorliebe. Wenn die eingegebenen Zahlen die GESAMTE Gruppe sind, die Sie interessiert (jeder Schüler in einer bestimmten Klasse), verwenden Sie Population. Wenn sie eine STICHPROBE sind, die eine größere Gruppe schätzen soll (eine Umfrage unter einigen Kunden, die alle Kunden repräsentieren soll), verwenden Sie Stichprobe — die falsche Wahl unter- oder überschätzt systematisch die wahre Variabilität.
• Ein Datensatz kann keinen, einen oder mehrere Modalwerte haben, anders als Mittelwert und Median, die immer einzelne Werte sind. Wenn jeder Wert in einer Liste genau einmal vorkommt, gibt es schlicht keinen Modalwert — und wenn zwei oder mehr Werte gleichauf am häufigsten vorkommen, kann ein Datensatz echt „bimodal” oder „multimodal” sein, was selbst oft ein aussagekräftiges Signal über die zugrunde liegenden Daten ist.
• Die Standardabweichung wird am intuitivsten für einigermaßen glockenförmige (Normal-)Verteilungen interpretiert, bei denen etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert liegen. Bei stark schiefen Daten oder einer sehr anderen Form ist die Standardabweichung weiterhin ein gültiges Streumaß, aber die intuitiven „68-95-99,7-Regel”-Prozentsätze gelten nicht so sauber.

Häufige Fehler

• Aus Gewohnheit immer die Populations-Standardabweichung (oder immer die Stichproben-Version) verwenden. Welche richtig ist, hängt vollständig davon ab, ob die eingegebenen Zahlen die gesamte Gruppe oder nur eine Stichprobe davon sind — die falsche Wahl unter- oder überschätzt systematisch die wahre Streuung, egal wie sorgfältig der Rest der Berechnung durchgeführt wird.
• Den Mittelwert als „typischen Wert” behandeln, wenn die Daten schief verteilt sind. Eine Handvoll ungewöhnlich großer oder kleiner Zahlen zieht den Mittelwert weg von dort, wo die meisten Daten tatsächlich liegen — der Median ist oft der ehrlichere „typische Wert” für schiefe Daten wie Einkommen oder Immobilienpreise.
• Vergessen, dass der Modus keiner, einer oder mehrere sein kann. Die Annahme, dass jeder Datensatz genau einen Modus hat, führt zu Verwirrung, wenn eine Liste keine wiederholten Werte hat (kein Modus) oder mehrere Werte sich den häufigsten Rang teilen (multimodal) — beides sind normale, erwartete Ergebnisse, keine Fehler.

Gut zu Wissen

• Müssen Sie einen einzelnen Wert gegen einen bekannten Mittelwert und eine bekannte Standardabweichung standardisieren, statt sie aus einer Liste zu berechnen? Z-Wert-Rechner wandelt einen einzelnen Wert in einen Z-Wert und ein Perzentil um.
• Arbeiten Sie nur mit zwei Zahlen und möchten deren prozentuale Differenz statt einer vollständigen deskriptiven Statistik? Prozentualer-Fehler-Rechner und Prozentrechner decken diesen einfacheren Fall ab.
• Neugierig, wie wahrscheinlich ein bestimmtes Ergebnis ist, statt nur einen bereits vorliegenden Datensatz zu beschreiben? Wahrscheinlichkeitsrechner berechnet die Wahrscheinlichkeiten einzelner und kombinierter Ereignisse.