quadratische Gleichungen

ax² + bx + c = 0 für Jeden Wert von x Lösen

Die quadratische Formel löst jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 nach x, unter Verwendung nur der drei Koeffizienten der Gleichung. Geben Sie a, b und c ein, und dieser Rechner findet jeden Wert von x, der die Gleichung wahr macht — einschließlich des Falls, in dem die Antwort komplexe statt reelle Zahlen enthält.

Eine quadratische Gleichung hat bei korrekter Zählung immer genau zwei Lösungen: zwei verschiedene reelle Zahlen, eine reelle Zahl doppelt gezählt (eine „doppelte Lösung“), oder ein Paar komplexer Zahlen. Welcher Fall zutrifft, hängt vollständig vom Vorzeichen der Diskriminante (dem Teil unter der Quadratwurzel) ab — dieser Rechner sagt Ihnen, welcher es ist, nicht nur die reinen Zahlen.

Die Formel

Für $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (mit $\vA{a} \neq 0$):

$$x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}$$

Der Term unter der Quadratwurzel, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$, wird Diskriminante genannt:

Beispielrechnung

Für $x^2 - 3x + 2 = 0$ ($\vA{a}=1$, $\vB{b}=-3$, $\vC{c}=2$):

1. Diskriminante: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$, was positiv ist, also gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.
2. $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$.
3. $x = \frac{4}{2} = 2$ oder $x = \frac{2}{2} = 1$.

Überprüfung: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ und $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — beide Lösungen stimmen.

Wichtige Einflussfaktoren

• Die Lösungen einer quadratischen Gleichung sind genau dort, wo ihr Graph (eine Parabel) die x-Achse kreuzt. Zwei verschiedene reelle Nullstellen bedeuten, dass die Parabel die x-Achse an zwei Punkten kreuzt; eine doppelte Nullstelle bedeutet, dass sie die Achse nur an einem Punkt berührt (ihrem Scheitelpunkt); komplexe Nullstellen bedeuten, dass die Parabel die x-Achse überhaupt nicht berührt und vollständig darüber oder darunter bleibt.
• Die Diskriminante allein verrät die ART der Lösungen, bevor überhaupt weiter gerechnet wird. Zu prüfen, ob $b^2 - 4ac$ positiv, null oder negativ ist, ist ein schneller Weg, um im Voraus zu wissen, ob eine Gleichung zwei reelle Lösungen, eine doppelte Lösung oder ein komplex-konjugiertes Paar hat, ohne erst den Rest der Formel ausrechnen zu müssen.
• Der Koeffizient a einer quadratischen Gleichung kann nie null sein, sonst hört sie auf, quadratisch zu sein. Wenn a = 0, verschwindet der $x^2$-Term vollständig, und die Gleichung wird linear (höchstens eine Lösung, durch einfache Algebra gefunden) statt quadratisch — deshalb ist die Mitternachtsformel selbst nur gültig und nur nötig, wenn a von null verschieden ist.
• Komplexe Nullstellen treten bei einer quadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten immer als konjugiertes Paar auf. Wenn die Diskriminante negativ ist, nehmen die beiden Lösungen immer die Form $p + qi$ und $p - qi$ an (identische Realteile, entgegengesetzte Vorzeichen bei den Imaginärteilen) — diese Paarbildung ist eine direkte Folge des ± in der Formel, angewendet auf eine negative Zahl unter der Quadratwurzel.

Häufige Fehler

• Das ± vergessen und nur eine Lösung angeben. Das ± in der Mitternachtsformel bedeutet, dass zwei separate Berechnungen nötig sind (eine mit +, eine mit -) — nach der ersten aufzuhören, verpasst die Hälfte der Antwort, sobald die Diskriminante nicht genau null ist.
• Eine negative Diskriminante als „keine Lösung” statt als komplexe Lösung behandeln. Eine negative Diskriminante bedeutet, dass die Gleichung KEINE reelle Lösung hat, aber sie hat trotzdem zwei gültige komplexe Lösungen — die Gleichung ist nicht unlösbar, nur nicht innerhalb der reellen Zahlen lösbar.
• a = 0 eingeben und eine quadratische Antwort erwarten. Ohne ein von null verschiedenes a ist die Gleichung linear, nicht quadratisch, und die Division durch 2a in der Formel ist undefiniert — eine lineare Gleichung braucht stattdessen einfache Algebra.

Gut zu Wissen

• Benötigen Sie nur eine Quadratwurzel oder n-te Wurzel statt eine vollständige Gleichung zu lösen? Quadratwurzel-/N-te-Wurzel-Rechner berechnet Quadratwurzeln und n-te Wurzeln direkt.
• Arbeiten Sie mit Potenzen für sich? Exponenten-Rechner berechnet Potenzen und Wurzeln.
• Benötigen Sie einen umfassenderen Rechner für Trigonometrie, Logarithmen oder andere Funktionen über diese Gleichung hinaus? Wissenschaftlicher Rechner deckt eine breite Palette wissenschaftlicher Berechnungen ab.