Lineare Interpolation

Einen Wert Zwischen Zwei Bekannten Punkten Schätzen

Lineare Interpolation schätzt einen unbekannten Wert zwischen zwei bekannten Punkten, unter der Annahme eines geradlinigen Zusammenhangs zwischen ihnen. Geben Sie zwei bekannte (x, y)-Punkte und den x-Wert ein, für den Sie eine Schätzung wünschen, und dieser Rechner findet das entsprechende y.

Die Formel

$$\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

wobei $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$ Ihre zwei bekannten Punkte sind und $x$ der Wert ist, für den Sie eine Schätzung wünschen.

Beispielrechnung

Ein Auto befindet sich bei 50 Meilen nach 2 Stunden und bei 140 Meilen nach 5 Stunden. Wo war es nach 3,5 Stunden?

1. $y = 50 + (3,5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1,5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ Meilen}}$

Wichtige Einflussfaktoren

• Interpolation zwischen zwei Punkten ist im Allgemeinen vertrauenswürdiger als Extrapolation darüber hinaus. Ein Ziel-x-Wert, der zwischen Ihren zwei bekannten Punkten liegt, bleibt innerhalb des Bereichs, in dem der Zusammenhang tatsächlich beobachtet wurde, während ein Ziel außerhalb dieses Bereichs annimmt, dass sich derselbe geradlinige Trend unverändert fortsetzt — eine Annahme, die riskanter wird, je weiter Sie sich außerhalb des bekannten Bereichs bewegen.
• Diese Methode ist exakt für einen wirklich linearen Zusammenhang und nur eine Näherung ansonsten. Ein physikalischer Prozess mit konstanter Geschwindigkeit, einer festen Rate oder einem wirklich geradlinigen Zusammenhang liefert durch diese Formel eine exakte Antwort — aber die meisten realen Prozesse (wie Zinseszinswachstum oder Beschleunigung) sind tatsächlich gekrümmt, sodass eine geradlinige Schätzung umso mehr von der Realität dazwischen abweichen kann, je weiter Ihre zwei bekannten Punkte auseinanderliegen.
• Referenztabellen (wie Nachschlagetabellen in der Technik, Dampftabellen oder versicherungs- mathematische Tabellen) verlassen sich häufig auf lineare Interpolation zwischen aufgeführten Werten. Statt jeden möglichen Eingabewert zu veröffentlichen, listet eine Tabelle eine überschaubare Menge bekannter Punkte auf und erwartet, dass der Leser dazwischen interpoliert — dies ist eine der häufigsten praktischen Anwendungen genau dieser Technik.
• Ein dritter bekannter Punkt kann aufdecken, ob Linearität tatsächlich eine vernünftige Annahme ist. Wenn ein dritter bekannter Punkt nahe an der zwischen den anderen zwei gezogenen Geraden liegt, ist lineare Interpolation in diesem Bereich wahrscheinlich zuverlässig — liegt er weit davon entfernt, krümmt sich der zugrunde liegende Zusammenhang wahrscheinlich, und eine geradlinige Schätzung sollte mit mehr Vorsicht behandelt werden.

Häufige Fehler

• Weit über den bekannten Bereich hinaus extrapolieren und das Ergebnis mit demselben Vertrauen behandeln wie eine Interpolation. Ein Zielwert außerhalb Ihrer zwei bekannten Punkte nimmt an, dass sich der Trend unverändert fortsetzt — eine weit riskantere Annahme als die Schätzung eines Werts, der tatsächlich dazwischenliegt.
• Einen geradlinigen Zusammenhang annehmen, ohne zu prüfen, ob der reale Prozess tatsächlich linear ist. Prozesse wie Zinseszinswachstum oder Beschleunigung sind gekrümmt statt geradlinig, sodass eine lineare Schätzung merklich falsch sein kann, besonders weit entfernt von den bekannten Punkten.
• Verwechseln, welcher bekannte Punkt welcher ist. Das Vertauschen von x1/y1 mit x2/y2 in der Formel ergibt eine andere (und falsche) Steigung — prüfen Sie doppelt, dass die x- und y-Werte jedes bekannten Punkts korrekt zusammen eingegeben wurden.
• Zwei bekannte Punkte verwenden, die sehr weit auseinanderliegen, wenn der zugrunde liegende Zusammenhang nicht linear ist. Je größer der Abstand zwischen Ihren zwei Punkten ist, desto mehr Raum hat eine Kurve, von der sie verbindenden Geraden abzuweichen — nähere, relevantere bekannte Punkte liefern im Allgemeinen eine vertrauenswürdigere Schätzung.

Gut zu Wissen

• Haben Sie mehrere Datenpunkte statt nur zwei und möchten die eine bestpassende Gerade durch alle davon? Der Kleinste-Quadrate-Regression Rechner-Rechner behandelt diesen breiteren Fall.
• Benötigen Sie die Steigung zwischen zwei Punkten statt eines geschätzten Werts an einem dritten? Der Rechner für Entfernung, Mittelpunkt und Steigung-Rechner deckt das direkt ab.