Kleinste-Quadrate-Regression

Berechnungen Vergleichen

Downloads

Enthält Ihre Eingaben und Ergebnisse für diese Berechnung sowie alle zusätzlichen Berechnungen, die Sie verglichen haben.

Eine Gerade an Verstreute Datenpunkte Anpassen

Die Methode der kleinsten Quadrate findet die einzige Gerade, die am besten zu einer Streuung von Datenpunkten passt. Geben Sie eine Liste von x,y-Paaren ein — eines pro Zeile — und dieser Rechner findet die Steigung und den Achsenabschnitt der Geraden sowie, wie stark die Punkte tatsächlich dieser Geraden folgen.

Die Formel

\vC{m} = \frac{n\sum{xy} - \sum{x}\sum{y}}{n\sum{x^2} - \left(\sum{x}\right)^2}

\vC{b} = \frac{\sum{y} - m\sum{x}}{n}

wobei $m$ die Steigung, $b$ der Achsenabschnitt und $n$ die Anzahl der Datenpunkte ist — zusammen beschreiben sie die Gerade $y = mx + b$ , die den gesamten quadrierten Abstand jedes Punkts zur Geraden minimiert.

Beispielrechnung

Eine Gerade durch (1, 1), (2, 2) und (3, 4) anpassen:

$m = \frac{3(17) - 6(7)}{3(14) - 6^2} = \frac{51 - 42}{42 - 36} = \frac{9}{6} = \vC{1,5}$
$b = \frac{7 - 1,5(6)}{3} = \frac{7 - 9}{3} = \vC{-0,667}$ — die angepasste Gerade lautet also $y = 1,5x - 0,667$ , mit einem Korrelationskoeffizienten von etwa $0,98$ .

Wichtige Einflussfaktoren

Ein starker Korrelationskoeffizient bedeutet nicht unbedingt, dass x tatsächlich y verursacht. Zwei Variablen können stark korreliert sein, weil eine die andere tatsächlich beeinflusst, weil beide von einem dritten Faktor angetrieben werden, oder rein durch Zufall in einem kleinen Datensatz — Korrelation beschreibt die Stärke eines linearen Zusammenhangs, nicht den Grund dafür.
Diese Methode geht davon aus, dass der wahre Zusammenhang linear ist, was nicht immer die richtige Annahme ist. Wenn eine Punktstreuung tatsächlich einer Kurve folgt, kann das Erzwingen einer Geraden hindurch eine technisch „bestangepasste” Gerade erzeugen, die die Daten trotzdem schlecht beschreibt — die Punkte vor dem Vertrauen auf die Anpassung visuell darzustellen ist gute Praxis.
Ein einzelner ungewöhnlicher Punkt (Ausreißer) kann die angepasste Gerade unverhältnismäßig zu sich ziehen. Da die Methode der kleinsten Quadrate QUADRIERTE Abstände minimiert, trägt ein Punkt weit vom allgemeinen Trend viel mehr zur Anpassung bei als ein Punkt in der Nähe — ein kleiner Datensatz mit einem extremen Ausreißer ist dafür besonders anfällig.
Mehr Datenpunkte liefern bei sonst gleichen Bedingungen im Allgemeinen eine zuverlässigere Anpassung. Eine Gerade, die nur durch 3-4 Punkte angepasst wird (wie im Beispiel), kann überzeugend aussehen, birgt aber viel mehr Unsicherheit als derselbe Zusammenhang, gemessen über Dutzende von Punkten — die Korrelationsstärke allein erfasst nicht, wie viele Daten die Anpassung tatsächlich stützen.

Häufige Fehler

Einen hohen Korrelationskoeffizienten als Beweis für Kausalität behandeln. Ein starker r-Wert zeigt nur, dass sich die Punkte eng um eine Gerade gruppieren — er sagt nichts darüber aus, ob eine Variable tatsächlich Veränderungen in der anderen verursacht.
Eine Gerade an Daten anpassen, die tatsächlich gekrümmt sind. Die Methode der kleinsten Quadrate liefert immer eine Steigung und einen Achsenabschnitt, selbst wenn eine lineare Anpassung das zugrunde liegende Muster schlecht beschreibt — stellen Sie die Punkte zuerst grafisch dar oder prüfen Sie, ob der Korrelationskoeffizient überraschend niedrig ist, bevor Sie dem Ergebnis vertrauen.
Zu wenige Datenpunkte verwenden und die Anpassung als zuverlässig behandeln. Eine Gerade durch nur 3-4 Punkte kann überzeugend aussehen, birgt aber weit mehr Unsicherheit als derselbe Zusammenhang, gemessen über Dutzende von Punkten.
Einen einzelnen Ausreißer die Anpassung dominieren lassen, ohne es zu bemerken. Da die Methode der kleinsten Quadrate quadrierte Abstände minimiert, kann ein weit entfernter Punkt die gesamte Gerade zu sich ziehen — es lohnt sich zu prüfen, ob das Entfernen eines ungewöhnlichen Punkts das Ergebnis wesentlich verändert.

Gut zu Wissen

Müssen Sie einen Wert zwischen zwei bekannten Punkten schätzen, statt eine Trendlinie durch viele zu legen? Der Lineare Interpolation Rechner-Rechner behandelt diesen direkteren Fall.
Möchten Sie sehen, wie sich ein bestimmter Wert zur Gesamtstreuung eines Datensatzes verhält? Der Z-Wert-Rechner-Rechner misst genau das.
Arbeiten Sie mit derselben Zahlenliste für umfassendere zusammenfassende Statistiken? Der Statistikrechner -Rechner deckt Mittelwert, Median, und Standardabweichung ab.

Quelle: Einfache lineare Regression.

Häufig Gestellte Fragen

Was ist eine Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate?

Die Methode der kleinsten Quadrate findet die einzige Gerade, die am besten zu einer Streuung von Datenpunkten passt, indem sie die Summe der quadrierten vertikalen Abstände zwischen jedem Punkt und der Geraden minimiert. Es ist die Standardmethode zur Beschreibung eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen.

Was bedeuten Steigung und Achsenabschnitt?

Die Steigung gibt an, wie stark sich y bei jeder Erhöhung von x um 1 Einheit ändert -- eine Steigung von 2 bedeutet, dass y jedes Mal um 2 steigt, wenn x um 1 steigt. Der Achsenabschnitt ist der vorhergesagte y-Wert der Geraden, wenn x gleich 0 ist, also dort, wo die Gerade die vertikale Achse schneidet.

Was sagt mir der Korrelationskoeffizient (r)?

Der Korrelationskoeffizient reicht von -1 bis 1 und misst, wie eng die Punkte um die angepasste Gerade gruppiert sind. Ein Wert nahe 1 bedeutet einen starken positiven Zusammenhang (wenn x steigt, steigt auch y zuverlässig), nahe -1 bedeutet einen starken negativen Zusammenhang, und nahe 0 bedeutet wenig bis keinen linearen Zusammenhang. Das Bestimmtheitsmaß (r²) ist einfach r mit sich selbst multipliziert und wird oft als „der Prozentsatz der Variation in y, der durch x erklärt wird“ gelesen.

Bedeutet eine starke Korrelation, dass x y verursacht?

Nein — Korrelation misst nur, wie stark sich zwei Variablen gemeinsam bewegen, nicht warum. Eine starke Korrelation kann echte Kausalität widerspiegeln, eine gemeinsame zugrunde liegende Ursache, die beide Variablen beeinflusst, oder reinen Zufall, besonders in einem kleinen Datensatz. Behandeln Sie einen hohen Korrelationskoeffizienten allein nicht als Beweis für einen kausalen Zusammenhang.

Was, wenn meine Daten tatsächlich keiner Geraden folgen?

Die Methode der kleinsten Quadrate passt immer eine Gerade an, selbst an Daten, die tatsächlich einer Kurve folgen — sie liefert trotzdem eine Steigung, einen Achsenabschnitt und einen Korrelationskoeffizienten, aber diese können den Zusammenhang schlecht beschreiben. Ihre Punkte zuerst zu plotten oder zu prüfen, ob der Korrelationskoeffizient unerwartet niedrig ist, kann anzeigen, wenn eine lineare Anpassung das falsche Werkzeug für Ihre Daten ist.