Matrizen

Matrixalgebra-Regeln auf ein Größenveränderliches Raster Anwenden

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenraster, das als eine einzige Einheit addiert, subtrahiert, multipliziert oder transformiert werden kann, nach eigenen Algebraregeln, die sich von der gewöhnlichen Arithmetik unterscheiden. Wählen Sie eine Operation, erstellen Sie Matrix A (und Matrix B, falls die Operation sie benötigt) mit den +/- Zeilen- und Spaltenschaltflächen, um jedes Raster auf die benötigten Abmessungen zu ändern, und dieser Rechner wendet die passende Regel an.

Addition und Subtraktion erfordern, dass beide Matrizen genau dieselbe Größe haben. Multiplikation erfordert, dass die Spaltenzahl von Matrix A der Zeilenzahl von Matrix B entspricht (das Ergebnis übernimmt die Zeilenzahl von Matrix A und die Spaltenzahl von Matrix B). Die Determinante existiert nur für eine quadratische Matrix (gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten). Die Transponierte funktioniert für eine Matrix jeder Form und vertauscht ihre Zeilen und Spalten.

Dieser Rechner versucht keine Zeilenreduktion, Matrixinversen oder Eigenwerte — ein tatsächlich anderes, viel größeres Vorhaben als die hier gezeigten Operationen.

Die Formel

Die Beispiele unten verwenden 2x2-Matrizen, um jede Regel klar zu veranschaulichen — dieselben Regeln erweitern sich direkt auf jede Größe, die das obige Raster unterstützt. Sei Matrix A mit den Einträgen $\vA{a_{11}}, \vA{a_{12}}, \vA{a_{21}}, \vA{a_{22}}$ und Matrix B mit den Einträgen $\vB{b_{11}}, \vB{b_{12}}, \vB{b_{21}}, \vB{b_{22}}$ , jeweils geschrieben als

A = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{12}} \\ \vA{a_{21}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} \vB{b_{11}} & \vB{b_{12}} \\ \vB{b_{21}} & \vB{b_{22}} \end{bmatrix}

Addition/Subtraktion kombinieren übereinstimmende Positionen einzeln: $A \pm B = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} \pm \vB{b_{11}} & \vA{a_{12}} \pm \vB{b_{12}} \\ \vA{a_{21}} \pm \vB{b_{21}} & \vA{a_{22}} \pm \vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
Multiplikation ist NICHT elementweise — jeder Eintrag des Ergebnisses ist ein „Zeile mal Spalte“-Skalarprodukt: $AB = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{11}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{22}} \\ \vA{a_{21}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{21}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
Determinante ist eine einzige Zahl, die beschreibt, wie stark die Matrix die Fläche skaliert: $\det(A) = \vA{a_{11}}\vA{a_{22}} - \vA{a_{12}}\vA{a_{21}}$
Transponierte spiegelt die Matrix an ihrer Hauptdiagonale und vertauscht die beiden Einträge außerhalb der Diagonale: $A^T = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{21}} \\ \vA{a_{12}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}$

Beispielrechnung

Mit $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ und $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$ :

Addition: $A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$ .
Multiplikation: der obere linke Eintrag ist $1 \times 5 + 2 \times 7 = 19$ , der obere rechte ist $1 \times 6 + 2 \times 8 = 22$ , der untere linke ist $3 \times 5 + 4 \times 7 = 43$ , und der untere rechte ist $3 \times 6 + 4 \times 8 = 50$ , was $AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$ ergibt.
Determinante von A: $1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$ .

Wichtige Einflussfaktoren

Die Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen NICHT kommutativ — die Reihenfolge ist wichtig. Anders als bei gewöhnlicher Zahlenmultiplikation ist AB bei Matrizen üblicherweise nicht gleich BA, und eine Reihenfolge ist möglicherweise nicht einmal mathematisch gültig, wenn die Dimensionen nicht richtig zusammenpassen — behalten Sie immer im Blick, welche Matrix zuerst kommt.
Eine Determinante von null bedeutet, dass eine quadratische Matrix „singulär” ist und keine Inverse hat. Dies ist ein häufiger Grund, warum eine Matrixoperation an anderer Stelle fehlschlägt (wie der Versuch, ein System linearer Gleichungen zu lösen) — eine von null verschiedene Determinante ist erforderlich, damit die Matrix invertierbar ist.
Matrizen sind das Standardwerkzeug hinter linearen Transformationen in Computergrafik, Physik und Ingenieurwesen. Das Drehen, Skalieren und Scheren einer 2D- oder 3D-Form (üblich in der Spieleentwicklung und Animation) werden alle als Matrixmultiplikation gegen eine Menge von Koordinatenpunkten ausgedrückt.
Matrixdimensionen werden immer als Zeilen × Spalten geschrieben, und diese Reihenfolge ist für die Kompatibilität wichtig. Eine 2×3-Matrix hat 2 Zeilen und 3 Spalten — damit eine Multiplikation gültig ist, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen, weshalb AB gültig sein kann, während BA es nicht ist, selbst wenn beide Matrizen ansonsten in ihrer Form kompatibel sind.

Häufige Fehler

Matrizen elementweise statt nach der Zeile-mal-Spalte-Regel multiplizieren. Die Matrixmultiplikation ist nicht dieselbe Operation wie Addition oder Subtraktion — jeder Ergebniseintrag ist ein Skalarprodukt einer ganzen Zeile und einer ganzen Spalte, nicht eine einzelne paarweise Multiplikation.
Annehmen, dass AB und BA dasselbe Ergebnis liefern. Die Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ, und das Vertauschen der Reihenfolge kann ein völlig anderes Ergebnis liefern — oder sogar mathematisch ungültig sein, wenn die Dimensionen nicht mehr zusammenpassen.
Versuchen, eine Determinante einer nicht-quadratischen Matrix zu finden. Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert (gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten) — eine 2×3- oder 3×2-Matrix hat schlicht keine.
Die Dimensionen einer Matrix bei der Kompatibilitätsprüfung verwechseln. Die Größe einer Matrix ist immer Zeilen × Spalten, in dieser Reihenfolge — die Verwechslung, welche Zahl welche ist, ist eine häufige Quelle für Verwirrung à la „warum funktioniert diese Multiplikation nicht”.

Gut zu Wissen

Arbeiten Sie mit einem Gleichungssystem, das eine Matrix darstellt? Der Rechner für quadratische Gleichungen -Rechner behandelt den Einzelvariablenfall direkt, falls das tatsächlich das ist, was Sie brauchen.
Benötigen Sie trigonometrische, logarithmische oder andere Funktionen neben Matrixoperationen? Der Wissenschaftlicher Rechner-Rechner deckt dieses breitere Toolkit ab.
Arbeiten Sie mit einem großen Datensatz statt einer kleinen Matrix? Der Statistikrechner -Rechner berechnet Mittelwert, Median und Standardabweichung direkt aus einer Zahlenliste.

Quelle: Standard-2x2-Matrixalgebra.

Häufig Gestellte Fragen

Warum ist die Matrixmultiplikation nicht elementweise?

Die Matrixmultiplikation kombiniert eine „Zeile“ der ersten Matrix mit einer „Spalte“ der zweiten, indem Paare von Einträgen multipliziert und summiert werden — nicht einfach Einträge an derselben Position multipliziert, wie es Addition und Subtraktion tun. Diese „Zeile mal Spalte“-Regel ist der Grund, warum die Matrixmultiplikation im Allgemeinen NICHT kommutativ ist (A x B entspricht üblicherweise nicht B x A), anders als die gewöhnliche Zahlenmultiplikation.

Was sagt Ihnen die Determinante?

Die Determinante ist eine einzige Zahl, die beschreibt, wie stark eine Matrix die Fläche skaliert, wenn sie eine Form transformiert. Eine Determinante von null bedeutet, dass die Matrix alles auf eine Linie (oder einen Punkt) zusammendrückt — sie hat keine Inverse.

Unterstützt dieser Rechner größere Matrizen als 2x2?

Ja — verwenden Sie die +/- Zeilen- und Spaltenschaltflächen an jedem Matrixraster, um es auf die benötigten Abmessungen zu ändern (bis zu 8x8). Addition und Subtraktion erfordern, dass beide Matrizen dieselbe Größe haben; Multiplikation erfordert, dass die Spaltenzahl von Matrix A der Zeilenzahl von Matrix B entspricht; die Determinante erfordert eine quadratische Matrix.