Quadratwurzel-/N-te-Wurzel

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Die n-te Wurzel einer Zahl Finden

Die n-te Wurzel einer Zahl ist der Wert, der, zur n-ten Potenz erhoben, wieder die ursprüngliche Zahl ergibt. Geben Sie eine Zahl und einen Wurzelgrad ein (2 für eine Quadratwurzel, 3 für eine Kubikwurzel, und so weiter), und dieser Rechner findet diesen Wert.

Eine Quadratwurzel (Grad 2) und eine Kubikwurzel (Grad 3) sind die zwei am häufigsten verwendeten Fälle, aber dieselbe Idee erstreckt sich auf jeden ganzzahligen Grad. Eine negative Zahl hat nur dann eine reelle n-te Wurzel, wenn der Grad ungerade ist — eine gerade Wurzel (wie eine gewöhnliche Quadratwurzel) einer negativen Zahl ist überhaupt keine reelle Zahl, da keine reelle Zahl, eine gerade Anzahl von Malen mit sich selbst multipliziert, jemals ein negatives Ergebnis erzeugen kann.

Die Formel

\sqrt[\vB{n}]{\vA{x}} = \vA{x}^{\frac{1}{\vB{n}}}

wobei $\vA{x}$ die Zahl ist und $\vB{n}$ der Wurzelgrad. Die Antwort zu überprüfen ist einfach: Das Ergebnis wieder zur $\vB{n}$ -ten Potenz zu erheben, sollte $\vA{x}$ reproduzieren.

Beispielrechnung

Quadratwurzel: $\sqrt{\vA{144}} = 12$ , da $12^2 = 144$ .
Kubikwurzel: $\sqrt[3]{\vA{27}} = 3$ , da $3^3 = 27$ .
Negative Zahl, ungerader Grad: eine reelle Antwort existiert trotzdem — $\sqrt[3]{\vA{-8}} = -2$ , da $(-2)^3 = -8$ .
Negative Zahl, gerader Grad: eine gerade Wurzel einer negativen Zahl, wie $\sqrt{-8}$ , hat keine reelle Antwort — dieser Rechner kennzeichnet diesen Fall, statt ein irreführendes Ergebnis zurückzugeben.

Wichtige Einflussfaktoren

Eine positive Zahl hat technisch zwei reelle Quadratwurzeln, obwohl standardmäßig meist nur die positive gemeint ist. Sowohl 12 als auch -12 ergeben quadriert 144, aber das Symbol „√” bezieht sich konventionell auf die positive (Haupt-)Wurzel — dieser Rechner gibt, wie die mathematische Standardkonvention, die Hauptwurzel zurück.
Wurzeln und Potenzen sind exakte Umkehrungen voneinander, weshalb die Bruchexponenten-Formel funktioniert. Die n-te Wurzel einer Zahl zu ziehen ist mathematisch identisch damit, sie mit 1/n zu potenzieren — genau diese Beziehung nutzt der Potenz-Rechner in die entgegengesetzte Richtung, und das Verständnis des einen hilft, das andere nachzuvollziehen.
Wurzeln geraden Grades von negativen Zahlen existieren tatsächlich im komplexen Zahlensystem, nur nicht in den reellen Zahlen, die dieser Rechner berechnet. Eine negative Zahl, gerade radiziert, ergibt mathematisch ein „imaginäres” Ergebnis — dieser Rechner ist bewusst auf reellzahlige Antworten beschränkt, passend zu dem, was für die überwiegende Mehrheit alltäglicher und praktischer Wurzelberechnungen tatsächlich sinnvoll ist.
Wurzeln höheren Grades wachsen viel langsamer als die zugrunde liegende Zahl selbst. Wenn eine Zahl größer wird, wächst ihre Quadratwurzel langsamer als die Zahl selbst, ihre Kubikwurzel noch langsamer, und so weiter für höhere Grade — diese abnehmende Wachstumseigenschaft ist der Grund, warum Wurzeln häufig verwendet werden, um einen breiten Wertebereich in der Statistik und Datenanalyse auf eine handhabbarere Skala zu „komprimieren”.

Häufige Fehler

Eine reelle Antwort von einer geraden Wurzel einer negativen Zahl erwarten. Eine Quadratwurzel, vierte Wurzel oder jede andere Wurzel geraden Grades einer negativen Zahl hat keine reelle Lösung — dieser Rechner kennzeichnet diesen Fall, statt stillschweigend eine falsche Zahl zurückzugeben.
Vergessen, dass die Hauptquadratwurzel nur die positive ist. Sowohl 12 als auch -12 ergeben quadriert 144, aber „√144” bedeutet konventionell nur die positive Wurzel — gehen Sie nicht davon aus, dass die negative Wurzel automatisch enthalten ist.
Wurzelgrad und die zu radizierende Zahl verwechseln. Grad und Zahl in die falschen Felder einzugeben, ergibt eine völlig andere (und meist viel größere oder kleinere) Antwort — prüfen Sie vor dem Lesen des Ergebnisses, welches Feld welches ist.

Gut zu Wissen

Möchten Sie die umgekehrte Richtung — eine Zahl potenzieren statt ihre Wurzel zu finden? Exponenten-Rechner übernimmt diese inverse Operation.
Arbeiten Sie neben Wurzeln und Potenzen auch mit Logarithmen? Logarithmus-Rechner ist der dritte Teil derselben mathematischen Beziehung.
Benötigen Sie den vollständigen wissenschaftlichen Rechner für einen komplexeren Ausdruck? Wissenschaftlicher Rechner unterstützt Wurzeln, Potenzen und vieles mehr in einem Ausdruck.

Quelle: Standard-n-te-Wurzel-Definition.

Häufig Gestellte Fragen

Was ist die n-te Wurzel einer Zahl?

Die n-te Wurzel einer Zahl ist der Wert, der, zur n-ten Potenz erhoben, wieder die ursprüngliche Zahl ergibt. Eine Quadratwurzel (n = 2) macht das Quadrieren rückgängig; eine Kubikwurzel (n = 3) macht das Kubieren rückgängig, und so weiter für jeden ganzzahligen Grad.

Kann man die Quadratwurzel einer negativen Zahl ziehen?

Nicht als reelle Zahl — keine reelle Zahl, mit sich selbst multipliziert, ergibt ein negatives Ergebnis, daher hat eine gerade Wurzel (Quadratwurzel, 4. Wurzel usw.) einer negativen Zahl keine reelle Antwort. Dieser Rechner kennzeichnet diesen Fall, statt ein irreführendes Ergebnis zurückzugeben. Eine UNGERADE Wurzel einer negativen Zahl, wie eine Kubikwurzel, hat tatsächlich eine reelle (negative) Antwort.

Wie findet man die Kubikwurzel einer negativen Zahl?

Ziehen Sie die Kubikwurzel des positiven Betrags der Zahl, und machen Sie das Ergebnis dann negativ — zum Beispiel ist die Kubikwurzel von -8 gleich -2, da (-2) × (-2) × (-2) = -8. Dies funktioniert, weil eine ungerade Anzahl negativer Faktoren sich zu einem negativen Ergebnis multipliziert.