Logarithmus

Berechnungen Vergleichen

Downloads

Enthält Ihre Eingaben und Ergebnisse für diese Berechnung sowie alle zusätzlichen Berechnungen, die Sie verglichen haben.

Die Potenz Finden, Die Eine Bestimmte Zahl Ergibt

Ein Logarithmus beantwortet die Frage „zu welcher Potenz muss ich die Basis erheben, um diese Zahl zu erhalten?“ Geben Sie einen Wert und eine Basis ein, und dieser Rechner findet den Logarithmus sowie denselben Wert zur Basis 10, natürlicher Logarithmus (ln) und Basis 2.

Die Formel

\vC{\log_b(x)} = \frac{\vA{\ln(x)}}{\vB{\ln(b)}}

wobei $x$ der Wert und $b$ die Basis ist — dies ist die Basiswechselformel, da die meisten Rechner nur eingebaute Funktionen für den natürlichen Logarithmus ( $\ln$ ) haben.

Beispielrechnung

Logarithmus zur Basis 2 von 8:

$\vC{\log_2(8)} = \frac{\vA{\ln(8)}}{\vB{\ln(2)}} = \frac{2.079}{0.693} \approx \vC{3}$ — denn $2^3 = 8$ .

Wichtige Einflussfaktoren

Logarithmen sind nur für positive Zahlen definiert (und jede positive Basis ungleich 1). Ein Logarithmus von null oder einer negativen Zahl hat keine reelle Zahlenlösung — das spiegelt die Tatsache wider, dass eine positive Basis, zu jeder reellen Potenz erhoben, immer ein positives Ergebnis liefert, sodass es keinen reellen Exponenten gibt, der jemals null oder eine negative Zahl erzeugen könnte.
Logarithmische Skalen werden häufig für Größen verwendet, die einen enormen Bereich umspannen. Die Richterskala für Erdbebenstärke, die Dezibelskala für Schall und die pH-Skala für Säuregehalt sind alle logarithmisch — jeder ganzzahlige Schritt stellt eine zehnfache (oder ähnlich große) Änderung der zugrunde liegenden Größe dar, weshalb ein „kleiner” Unterschied auf diesen Skalen einen riesigen realen Unterschied darstellen kann.
Basis 10, Basis e (natürlicher Logarithmus) und Basis 2 tauchen aus unterschiedlichen Gründen in unterschiedlichen Bereichen auf. Basis 10 passt natürlich zum Dezimalzahlensystem und alltäglichen Skalen; Basis e ergibt sich natürlich in der Analysis und bei kontinuierlichem Wachstum/Zerfall (wie kontinuierlichem Zinseszins); Basis 2 ist grundlegend in der Informatik, wo sich Mengen oft verdoppeln (wie Datenspeicherung oder Binärsuchschritte).
Die wichtigen Logarithmusidentitäten erlauben es, komplexe Ausdrücke in einfachere Teile zu zerlegen. log(a×b) = log(a) + log(b), und log(aⁿ) = n×log(a) — diese Regeln sind der Grund, warum Logarithmen historisch verwendet wurden, um schwierige Multiplikations- und Potenzierungsprobleme in einfachere Addition umzuwandeln, lange bevor es Taschenrechner gab.

Häufige Fehler

Versuchen, den Logarithmus von null oder einer negativen Zahl zu berechnen. Kein reeller Exponent, auf eine positive Basis angewendet, kann jemals null oder ein negatives Ergebnis liefern, sodass diese Eingaben keine reelle Zahlenlösung haben — dieser Rechner markiert sie als ungültig, statt einen Wert zurückzugeben.
„log” mit „ln” verwechseln, wenn eine Formel oder ein Lehrbuch gelesen wird. Einfaches „log” bedeutet in Alltags- und Ingenieurkontexten üblicherweise Basis 10, aber viele Mathematik- und Informatiktexte verwenden es stattdessen für den natürlichen Logarithmus (Basis e) — prüfen Sie stets, welche Konvention eine Quelle verwendet, statt es anzunehmen.
Vergessen, dass die Basis eines Logarithmus positiv und ungleich 1 sein muss. Eine Basis von 1 würde jede Potenz davon gleich 1 machen, sodass es keine Möglichkeit gibt, nach einem Exponenten aufzulösen, der einen anderen Wert ergibt — und eine negative Basis erzeugt abwechselnd positive/negative Ergebnisse, die den reellen Logarithmus völlig durchbrechen.
Eine logarithmische Skala lesen, als wäre sie linear. Ein Unterschied von 2 Punkten auf der Richterskala ist nicht doppelt so stark — es sind etwa 1.000-mal mehr freigesetzte Energie, da jeder ganzzahlige Schritt eine zehnfache Änderung der Amplitude darstellt (und etwa das 31,6-fache an Energie).

Gut zu Wissen

Benötigen Sie die umgekehrte Operation — eine Basis zu einer Potenz erheben statt den Exponenten zu finden? Der Exponenten-Rechner-Rechner deckt diese Richtung ab.
Arbeiten Sie mit einem logarithmischen Zerfallsprozess, wie der radioaktiven Halbwertszeit? Der Halbwertszeit-Rechner -Rechner wendet dieselbe natürliche-Logarithmus-Mathematik auf ein zerfallsspezifisches Beispiel an.
Benötigen Sie einen umfassenderen wissenschaftlichen Rechner mit Logarithmen neben Trigonometrie und anderen Funktionen? Der Wissenschaftlicher Rechner-Rechner deckt das breitere Toolkit ab.

Quelle: Standard-Logarithmusidentitäten.

Häufig Gestellte Fragen

Was ist ein Logarithmus?

Ein Logarithmus beantwortet die Frage „zu welcher Potenz muss ich die Basis erheben, um diese Zahl zu erhalten?“ Zum Beispiel ist der Logarithmus zur Basis 2 von 8 gleich 3, da 2 hoch 3 gleich 8 ist. Logarithmen sind die Umkehroperation der Potenzierung.

Wie berechnet man einen Logarithmus zu jeder Basis?

Mit der Basiswechselformel: log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b), wobei ln der natürliche Logarithmus ist. Die meisten Rechner haben nur eingebaute Funktionen für ein paar bestimmte Basen, sodass diese Formel es ermöglicht, einen Logarithmus zu JEDER Basis zu finden.

Was ist der Unterschied zwischen log und ln?

„log“ (ohne geschriebene Basis) bedeutet konventionell Basis 10 (der „gemeine“ Logarithmus), während „ln“ speziell den natürlichen Logarithmus bedeutet, Basis e (ca. 2,71828). Dieser Rechner zeigt beide sowie den Logarithmus zur Basis 2, unabhängig davon, welche Basis Sie tatsächlich angefordert haben.

Warum kann man den Logarithmus einer negativen Zahl nicht bilden?

Weil eine positive Basis, zu jeder reellen Zahlpotenz erhoben, immer ein positives Ergebnis liefert — es gibt keinen reellen Exponenten, der eine positive Basis null oder eine negative Zahl erzeugen lassen könnte. Logarithmen negativer Zahlen existieren im komplexen Zahlensystem, aber das liegt außerhalb dessen, was dieser Rechner berechnet.

Was sind einige praktische Anwendungen von Logarithmen?

Logarithmische Skalen werden überall verwendet, wo eine Größe einen enormen Bereich umspannt, wie Erdbebenstärke (Richterskala), Schallintensität (Dezibel) und Säure-/Basenstärke (pH). Logarithmen tauchen auch in der Informatik auf (Binärsuche, Informationstheorie) und bei der Modellierung von kontinuierlichem Wachstum oder Zerfall, wie radioaktivem Zerfall oder kontinuierlich verzinstem Zinseszins.