Freier-Fall

Berechnung von Fallzeit und Aufprallgeschwindigkeit beim Freien Fall

Der freie Fall ist die Bewegung eines Objekts, das allein unter dem Einfluss der Schwerkraft fällt, unter Vernachlässigung des Luftwiderstands — die für eine schnelle Schätzung übliche Standardvereinfachung. Geben Sie entweder die Fallhöhe oder die Fallzeit ein, und dieser Rechner ermittelt den jeweils anderen Wert sowie die Aufprallgeschwindigkeit.

Die Formel

$$\vB{\text{Höhe}} = \frac{1}{2} \times g \times \vA{\text{Zeit}}^2$$ $$\vA{\text{Zeit}} = \sqrt{\frac{2 \times \vB{\text{Höhe}}}{g}}$$ $$\vC{\text{Geschwindigkeit}} = g \times \vA{\text{Zeit}}$$

wobei $g$ die Erdbeschleunigung ist, standardmäßig die Erdbeschleunigung (9,80665 m/s²).

Beispielrechnung

Ein Objekt, das aus einer Höhe von 20 m fällt:

1. Ermittle die Fallzeit: $\vA{\text{Zeit}} = \sqrt{\frac{2 \times \vB{20}}{9,80665}} \approx \vA{2,02}$ Sekunden.
2. Ermittle die Aufprallgeschwindigkeit: $\vC{\text{Geschwindigkeit}} = 9,80665 \times 2,02 \approx \vC{19,81}$ m/s (etwa 71,3 km/h oder 44,3 mph — ungefähr so schnell wie ein Auto in der Stadt).

Wichtige Einflussfaktoren

• Luftwiderstand wird bei höheren Geschwindigkeiten und bei leichteren Objekten mit größerer Oberfläche bedeutsam. Ein dichtes, kompaktes Objekt (wie ein Stein), das eine kurze Strecke fällt, entspricht dieser idealisierten Berechnung eng, während ein leichtes, ausgebreitetes Objekt (wie ein Blatt Papier) schnell davon abweicht, da der Luftwiderstand mit der Geschwindigkeit zunimmt und schließlich die Schwerkraft bei der „Grenzgeschwindigkeit” eines Objekts ausgleicht — eine reale Grenze, die dieses vereinfachte Freifallmodell nicht enthält.
• Die Erdbeschleunigung variiert je nach Standort auf der Erde leicht, nicht nur je nach Planet. Die Standardschwerkraft (9,80665 m/s²) ist ein international vereinbarter Referenzwert — die tatsächliche lokale Schwerkraft variiert sehr leicht mit Höhe und geografischer Breite, wobei der Unterschied klein genug ist, um bei praktisch allen alltäglichen Berechnungen ignoriert zu werden.
• Dieser Rechner geht von einem geraden vertikalen Fall aus dem Stillstand aus. Ein Objekt, das nach unten geworfen, in einem Winkel gestartet oder bereits in Bewegung ist, wenn es zu fallen beginnt, benötigt eine umfassendere Behandlung der Wurfbewegung (unter Berücksichtigung der Anfangsgeschwindigkeit und, bei geneigter Bewegung, der horizontalen Distanz) statt dieses reinen Freifallmodells.
• Dieselben Formeln funktionieren umgekehrt für ein unter reiner Schwerkraft steigendes Objekt, mit umgekehrtem Vorzeichen. Ein senkrecht nach oben geworfenes Objekt wird durch dieselbe Gravitationskonstante abgebremst, erreicht einen Höhepunkt und fällt dann — die Freifallgleichungen beschreiben direkt die fallende Hälfte dieser Bewegung.

Häufige Fehler

• Annahme, dass ein schwereres Objekt schneller fällt als ein leichteres. Wie oben behandelt, hängt das idealisierte Freifallmodell dieses Rechners überhaupt nicht von der Masse ab — ohne Luftwiderstand treffen eine Bowlingkugel und eine Murmel, die aus derselben Höhe fallen gelassen werden, im selben Moment auf dem Boden auf, ein Ergebnis, das berühmt beim Hammer-und-Feder-Experiment auf dem Mond während der Apollo-15-Mission demonstriert wurde.
• Vermischen von Einheitensystemen zwischen Höhe und Erdbeschleunigung. Wie oben behandelt, verwenden die Formeln hier intern SI-Einheiten (Meter, Sekunden und die Standardschwerkraft der Erde von 9,80665 m/s²) — eine Höhe in Fuß einzugeben, ohne sie vorher umzurechnen, ergibt eine Fallzeit und Aufprallgeschwindigkeit, die plausibel aussehen, aber tatsächlich falsch sind.
• Das Ergebnis dieses Rechners als genau für ein leichtes, breites Objekt wie ein Blatt oder ein Stück Papier zu behandeln. Wie oben behandelt, wird Luftwiderstand bei Objekten mit großer Oberfläche im Verhältnis zu ihrer Masse bedeutsam, und dieses Modell berücksichtigt das nicht — die berechnete Fallzeit und Geschwindigkeit stimmen nur bei einem dichten, kompakten Objekt eng mit der Realität überein.
• Annahme, dass das Objekt bereits eine gewisse Abwärtsgeschwindigkeit hatte, bevor es zu fallen begann. Wie oben behandelt, gehen die Formeln dieses Rechners davon aus, dass das Objekt aus dem Stillstand startet (Anfangsgeschwindigkeit null) — ein nach unten geworfenes oder gestartetes Objekt erreicht den Boden früher und schneller, als dieser Rechner vorhersagt.

Wissenswertes

• Die Unabhängigkeit des freien Falls von der Masse ist eines der berühmtesten Ergebnisse der Physik, zuerst von Galileo argumentiert und später buchstäblich auf dem Mond demonstriert, wo kein Luftwiderstand den Vergleich verkompliziert.
• Die Aufprallgeschwindigkeit dieses Rechners kann in vertrautere Alltagseinheiten umgerechnet werden — das obige Beispiel gibt die Aufprallgeschwindigkeit eines Falls genau aus diesem Grund in km/h und mph an.
• Dieser Rechner passt natürlich zum Kraftrechner (zum Finden der Kraft hinter einem Fall mithilfe des zweiten Newtonschen Gesetzes) und zum Rechner für Kinetische & Potenzielle Energie (für die Energie, die ein Objekt beim Aufprall trägt).