Halbwertszeit

Berechnung des Exponentiellen Zerfalls mit der Halbwertszeit-Formel

Eine Halbwertszeit ist die Zeit, die benötigt wird, damit genau die Hälfte einer Menge zerfällt — sei es ein radioaktives Isotop, ein Medikament im Körper oder eine andere exponentiell zerfallende Menge. Geben Sie die Anfangsmenge und die Halbwertszeit sowie entweder die verstrichene Zeit oder die verbleibende Menge ein, und dieser Rechner findet den anderen Wert.

Die Formel

$$\vB{N(t)} = \vA{N_0} \times 0.5^{t / T}$$ $$t = T \times \log_2\left(\frac{\vA{N_0}}{\vB{N_t}}\right)$$

wobei $N_0$ die Anfangsmenge, $T$ die Halbwertszeit, $t$ die verstrichene Zeit und $N_t$ die verbleibende Menge zum Zeitpunkt $t$ ist.

Beispielrechnung

Eine Substanz mit einer Anfangsmenge von 100 g und einer Halbwertszeit von 10 Tagen:

1. Nach 20 Tagen (2 Halbwertszeiten): $\vB{N(t)} = 100 \times 0.5^{20/10} = 100 \times 0.25 \approx \vB{25}$ g bleiben übrig.
2. Das sind $\vC{25\%}$ der Anfangsmenge, nach genau 2 verstrichenen Halbwertszeiten.

Wichtige Einflussfaktoren

• Ein Stoff ist unter reinem exponentiellem Zerfall nie vollständig „weg” — die Menge nähert sich nur immer weiter null an. Dies ist eine echte mathematische Eigenschaft des exponentiellen Zerfalls: Die Formel erzeugt eine immer kleinere, aber nie exakt null erreichende Restmenge — in der Praxis wird eine Menge nach mehreren Halbwertszeiten vernachlässigbar (statt mathematisch null), üblicherweise nach etwa 5-7 Halbwertszeiten als effektiv erschöpft betrachtet.
• Verschiedene Stoffe haben stark unterschiedliche Halbwertszeiten, von Sekundenbruchteilen bis zu Milliarden Jahren. In der Medizin verwendete radioaktive Isotope haben oft Halbwertszeiten von Stunden bis Tagen, während manche für die geologische Datierung verwendete (wie Uran-238) Halbwertszeiten von Milliarden Jahren haben — dieselbe Formel gilt auf jeder Skala, nur der Halbwertszeit-Wert ändert sich.
• Die Eliminationshalbwertszeit von Medikamenten im Körper folgt derselben Mathematik, aber die echte biologische Elimination kann komplexer sein. Viele Medikamente nähern sich einer einfachen exponentiellen Elimination recht gut an, aber manche folgen komplexeren mehrphasigen Eliminationsmustern — die tatsächliche klinische Halbwertszeit eines Medikaments sollte aus pharmakologischen Daten für dieses konkrete Medikament stammen, nicht als perfekt einfache Exponentialfunktion angenommen werden.
• Radiokarbondatierung und ähnliche Techniken funktionieren, indem der verbleibende Anteil gemessen und nach der vergangenen Zeit aufgelöst wird. Dies ist genau die „nach Zeit auflösen”-Richtung dieses Rechners — die Kenntnis der ursprünglichen und aktuellen Menge eines radioaktiven Isotops erlaubt es, zu berechnen, wie lange der Zerfall bereits stattfindet, das grundlegende Prinzip hinter radiometrischen Datierungsmethoden.

Häufige Fehler

• Annahme, dass ein Stoff nach einer kleinen Anzahl von Halbwertszeiten vollständig verschwunden ist. Exponentieller Zerfall erreicht nie wirklich null — nach 2 Halbwertszeiten verbleiben 25 %, nicht 0 %; nach 5 Halbwertszeiten verbleiben etwa 3 %. „Effektiv verschwunden“ ist eine praktische Näherung, keine mathematische Gewissheit.
• Die Annahme, dass der Zerfall bei jeder Halbwertszeit eine feste Menge statt eines festen Anteils entfernt. Jede Halbwertszeit entfernt die Hälfte der zu diesem Zeitpunkt verbleibenden Menge, nicht jedes Mal die Hälfte der Ausgangsmenge — 100 g werden zu 50 g, dann 25 g, dann 12,5 g, nie fällt sie um pauschal 50 g pro Zeitraum.
• Vermischen der Zeiteinheiten zwischen Halbwertszeit und verstrichener Zeit. Wird die Halbwertszeit in Tagen angegeben, muss die verstrichene Zeit (oder umgekehrt) in derselben Einheit sein — die Eingabe der einen in Tagen und der anderen in Jahren erzeugt stillschweigend ein bedeutungsloses Ergebnis.
• Verwendung des einfachen Ein-Exponential-Modells dieses Rechners für einen Stoff mit einem echten mehrphasigen Zerfalls- oder Eliminationsmuster. Wie oben erwähnt, folgen die tatsächlichen klinischen Halbwertszeitdaten eines Medikaments (oder eine komplexe nukleare Zerfallskette) möglicherweise keiner einzelnen sauberen Exponentialkurve — prüfen Sie substanzspezifische Daten, bevor Sie dieses einfache Modell für einen realen Fall als exakt behandeln.

Wissenswertes

Die Radiokohlenstoffdatierung hat eine praktische Altersgrenze, die direkt von der Halbwertszeit des Kohlenstoff-14 selbst bestimmt wird. Nach etwa 8-10 Halbwertszeiten (rund 50.000-60.000 Jahren, da die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 etwa 5.730 Jahre beträgt) verbleibt in einer Probe so wenig Kohlenstoff-14, dass eine zuverlässige Messung unpraktikabel wird — genau deshalb wird die Radiokohlenstoffdatierung für nichts verwendet, das älter als etwa 50.000 Jahre ist. Ältere Proben werden stattdessen mit Isotopen mit viel längerer Halbwertszeit datiert, wie Kalium-40 oder Uran-238, unter Verwendung derselben Exponentialzerfalls-Mathematik.