मुक्त पतन

मुक्त पतन का समय और टक्कर वेग की गणना करना

मुक्त पतन केवल गुरुत्वाकर्षण के तहत गिरने वाली वस्तु की गति है, वायु प्रतिरोध को नज़रअंदाज़ करते हुए — एक त्वरित अनुमान के लिए उपयोग किया जाने वाला मानक सरलीकरण। या तो वह ऊँचाई जिससे यह गिरती है या वह समय जिसके लिए यह गिरती है दर्ज करें, और यह कैलकुलेटर दूसरा ज्ञात करता है, साथ ही इसका टक्कर वेग।

सूत्र

$$\vB{\text{ऊँचाई}} = \frac{1}{2} \times g \times \vA{\text{समय}}^2$$ $$\vA{\text{समय}} = \sqrt{\frac{2 \times \vB{\text{ऊँचाई}}}{g}}$$ $$\vC{\text{वेग}} = g \times \vA{\text{समय}}$$

जहाँ $g$ गुरुत्वाकर्षण त्वरण है, डिफ़ॉल्ट रूप से पृथ्वी के मानक गुरुत्वाकर्षण (9.80665 m/s²) पर सेट।

हल किया गया उदाहरण

20 मीटर की ऊँचाई से गिरती एक वस्तु:

1. गिरने का समय ज्ञात करें: $\vA{\text{समय}} = \sqrt{\frac{2 \times \vB{20}}{9.80665}} \approx \vA{2.02}$ सेकंड।
2. टक्कर वेग ज्ञात करें: $\vC{\text{वेग}} = 9.80665 \times 2.02 \approx \vC{19.81}$ m/s (लगभग 71.3 किमी/घंटा, या 44.3 mph — लगभग एक शहर की सड़क पर एक कार जितनी तेज़)।

ध्यान रखने योग्य मुख्य बातें

• वायु प्रतिरोध उच्च गति पर और हल्की, बड़ी-सतह-क्षेत्र वाली वस्तुओं के लिए महत्वपूर्ण हो जाता है। एक घनी, संहत वस्तु (जैसे एक चट्टान) थोड़ी दूरी गिरते हुए इस आदर्शीकृत गणना से बारीकी से मेल खाती है, जबकि एक हल्की, फैली हुई वस्तु (जैसे कागज़ की एक शीट) इससे जल्दी अलग हो जाती है, क्योंकि वायु प्रतिरोध गति के साथ बढ़ता है और अंततः किसी वस्तु के “अंतिम वेग” पर गुरुत्वाकर्षण को संतुलित करता है — एक वास्तविक-दुनिया की सीमा जिसे यह सरलीकृत मुक्त-पतन मॉडल शामिल नहीं करता।
• गुरुत्वाकर्षण त्वरण पृथ्वी पर स्थान के अनुसार थोड़ा भिन्न होता है, केवल ग्रह के अनुसार नहीं। मानक गुरुत्वाकर्षण (9.80665 m/s²) एक अंतरराष्ट्रीय रूप से सहमत संदर्भ मान है — वास्तविक स्थानीय गुरुत्वाकर्षण ऊँचाई और अक्षांश के साथ बहुत थोड़ा भिन्न होता है, हालाँकि यह अंतर लगभग सभी रोज़मर्रा की गणनाओं के लिए नज़रअंदाज़ करने के लिए काफी छोटा है।
• यह कैलकुलेटर विराम से शुरू होने वाला एक सीधा ऊर्ध्वाधर गिरना मानता है। नीचे की ओर फेंकी गई, एक कोण पर लॉन्च की गई, या गिरना शुरू करते समय पहले से ही चलती हुई एक वस्तु को इस शुद्ध मुक्त-पतन मॉडल के बजाय एक पूर्ण प्रक्षेप्य-गति उपचार (प्रारंभिक वेग और, कोणीय गति के लिए, क्षैतिज दूरी को ध्यान में रखते हुए) की आवश्यकता होती है।
• समान सूत्र चिह्न पलटकर अकेले गुरुत्वाकर्षण के तहत ऊपर उठती वस्तु के लिए विपरीत दिशा में काम करते हैं। सीधे ऊपर फेंकी गई एक वस्तु समान गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक के तहत धीमी होती है, एक चरम पर पहुँचती है, फिर गिरती है — मुक्त-पतन समीकरण उस गति के गिरने वाले आधे हिस्से का सीधे वर्णन करते हैं।

सामान्य गलतियाँ

• यह मान लेना कि एक भारी वस्तु एक हल्की वस्तु की तुलना में तेज़ी से गिरती है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, इस कैलकुलेटर का आदर्शीकृत मुक्त-पतन मॉडल द्रव्यमान पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता — वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में, एक ही ऊँचाई से गिराई गई बॉलिंग की गेंद और एक कंचा एक ही क्षण में ज़मीन से टकराते हैं, एक परिणाम जो अपोलो 15 के हथौड़ा-और-पंख प्रयोग के दौरान चंद्रमा पर प्रसिद्ध रूप से प्रदर्शित किया गया था।
• ऊँचाई और गुरुत्वाकर्षण त्वरण के बीच इकाई प्रणालियों को मिलाना। जैसा कि ऊपर बताया गया है, यहाँ के सूत्र आंतरिक रूप से SI इकाइयों (मीटर, सेकंड, और पृथ्वी का मानक गुरुत्वाकर्षण 9.80665 m/s²) का उपयोग करते हैं — पहले परिवर्तित किए बिना फुट में ऊँचाई दर्ज करने से एक गिरने का समय और टक्कर वेग मिलता है जो प्रशंसनीय दिखता है लेकिन वास्तव में गलत होता है।
• इस कैलकुलेटर के परिणाम को पत्ते या कागज़ की शीट जैसी हल्की, चौड़ी वस्तु के लिए सटीक मानना। जैसा कि ऊपर बताया गया है, वायु प्रतिरोध उन वस्तुओं के लिए महत्वपूर्ण हो जाता है जिनका द्रव्यमान की तुलना में सतह क्षेत्र बड़ा होता है, और यह मॉडल इसे ध्यान में नहीं रखता — गणना किया गया गिरने का समय और वेग केवल एक घनी, संहत वस्तु के लिए वास्तविकता से निकटता से मेल खाते हैं।
• यह मान लेना कि वस्तु के गिरना शुरू करने से पहले ही उसमें कुछ नीचे की ओर वेग था। जैसा कि ऊपर बताया गया है, इस कैलकुलेटर के सूत्र मानते हैं कि वस्तु विराम (शून्य प्रारंभिक वेग) से शुरू होती है — नीचे की ओर फेंकी गई या लॉन्च की गई वस्तु इस कैलकुलेटर की भविष्यवाणी से पहले और तेज़ी से ज़मीन पर पहुँचती है।

जानने योग्य बातें

• द्रव्यमान से मुक्त पतन की स्वतंत्रता भौतिकी के सबसे प्रसिद्ध परिणामों में से एक है, जिसे पहली बार गैलीलियो ने तर्क दिया था और बाद में शाब्दिक रूप से चंद्रमा पर प्रदर्शित किया गया, जहाँ तुलना को जटिल बनाने के लिए कोई वायु प्रतिरोध नहीं है।
• इस कैलकुलेटर से टक्कर वेग को अधिक परिचित रोज़मर्रा की इकाइयों में परिवर्तित किया जा सकता है — ऊपर दिया गया हल किया गया उदाहरण ठीक इसी कारण से गिरने की टक्कर गति को किमी/घंटा और mph में रिपोर्ट करता है।
• यह कैलकुलेटर स्वाभाविक रूप से बल कैलकुलेटर (न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करके गिरने के पीछे के बल को खोजने के लिए) और गतिज और स्थितिज ऊर्जा कैलकुलेटर (टक्कर के समय वस्तु द्वारा वहन की जाने वाली ऊर्जा के लिए) के साथ जुड़ता है।