प्रतिशत

प्रतिशत की गणना कैसे होती है

प्रतिशत किसी संख्या को 100 के अंश के रूप में व्यक्त करने का एक तरीका है। यह कैलकुलेटर उन पाँच सवालों को कवर करता है जिनके उत्तर लोगों को सबसे अधिक चाहिए होते हैं:

• Y का X% क्या है? — उदाहरण के लिए, $50 की वस्तु पर 20% छूट का पता लगाना, या $60 के बिल पर 15% टिप कितना बनता है।
• X, Y का कितने प्रतिशत है? — उदाहरण के लिए, यह पता लगाना कि 60 प्रश्नों में से 45 सही उत्तर 75% है।
• X, किस संख्या का Y% है? — “रिवर्स प्रतिशत” सवाल। उदाहरण के लिए, यदि $45 की जमा राशि कुल कीमत का 15% थी, तो पूरी कीमत $300 थी।
• X से Y तक प्रतिशत परिवर्तन क्या है? — उदाहरण के लिए, दो समय बिंदुओं के बीच कीमत, वेतन, या माप कितना बढ़ा या घटा।
• X और Y के बीच प्रतिशत अंतर क्या है? — दो मान अपने औसत के सापेक्ष कितने दूर हैं, बिना किसी को “शुरुआती” मान माने।

वह सवाल चुनें जो आप जो ढूँढने की कोशिश कर रहे हैं उससे मेल खाता हो, दो संख्याएँ दर्ज करें, और बाकी काम कैलकुलेटर करता है — यह याद रखने की ज़रूरत नहीं कि कौन सी संख्या भिन्न के ऊपर जाती है।

सूत्र

तीनों सवाल एक ही अंतर्निहित संबंध से आते हैं: एक प्रतिशत एक भाग है जो कुल से विभाजित होकर 100 से गुणा किया जाता है। तीनों में एक ही दो रंग भाग और कुल को ट्रैक करते हैं:

$$\text{किसी संख्या का प्रतिशत: } \vA{\text{भाग}} = \left(\frac{\vC{\text{प्रतिशत}}}{100}\right) \times \vB{\text{कुल}}$$ $$\text{एक संख्या दूसरी का कितने प्रतिशत है: } \vC{\text{प्रतिशत}} = \left(\frac{\vA{\text{भाग}}}{\vB{\text{कुल}}}\right) \times 100$$ $$\text{रिवर्स प्रतिशत (कुल ढूँढना): } \vB{\text{कुल}} = \frac{\vA{\text{भाग}}}{\vC{\text{प्रतिशत}} \div 100}$$

प्रतिशत परिवर्तन और प्रतिशत अंतर दोनों ही एक भाग और कुल के बजाय दो स्वतंत्र मानों की तुलना करते हैं, इसलिए वे ऊपर के भाग/कुल/प्रतिशत का पुन: उपयोग करने के बजाय अपने स्वयं के चर नामों का उपयोग करते हैं:

$$\text{प्रतिशत परिवर्तन} = \left(\frac{\text{नया} - \text{मूल}}{\text{मूल}}\right) \times 100$$ $$\text{प्रतिशत अंतर} = \left(\frac{|a - b|}{(|a| + |b|) \div 2}\right) \times 100$$

प्रतिशत परिवर्तन सूत्र जानबूझकर चिह्नित है: धनात्मक परिणाम का मतलब है कि मान बढ़ा, और ऋणात्मक परिणाम का मतलब है कि यह घटा। यही कारण है कि “कीमत 25% गिर गई” परिवर्तन गणना में $25$ के बजाय $-25$ के रूप में दिखाई देती है।

प्रतिशत अंतर प्रतिशत परिवर्तन से एक अलग सवाल है: परिवर्तन दिशात्मक है और पहले (मूल) मान के विरुद्ध मापा जाता है, जबकि अंतर सममित है — यह मापता है कि दो मान अपने औसत के सापेक्ष कितने दूर हैं, इसलिए दोनों संख्याओं को अदल-बदल करने से वही उत्तर मिलता है और परिणाम कभी ऋणात्मक नहीं होता। जब एक मान दूसरे से पहले आया हो तो परिवर्तन का उपयोग करें; जब आप केवल दो स्वतंत्र मापों की तुलना कर रहे हों तो अंतर का उपयोग करें।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए एक जैकेट की कीमत $80 से बढ़कर $92 हो जाती है, और आप प्रतिशत वृद्धि जानना चाहते हैं।

1. नए मान से मूल मान घटाएँ: $92 - 80 = 12$।
2. उस अंतर को मूल मान से विभाजित करें: $12 \div 80 = 0.15$।
3. इसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए 100 से गुणा करें: $0.15 \times 100 = 15$।

कीमत 15% बढ़ी। यदि जैकेट की कीमत इसके बजाय $80 से घटकर $68 हो जाती, तो वही तीन चरण $((68 - 80) \div 80) \times 100 = -15$ देते हैं, यानी 15% की कमी — ऋणात्मक चिह्न कैलकुलेटर का यह बताने का तरीका है कि मान किस दिशा में गया।

सामान्य गलतियाँ

• प्रतिशत परिवर्तन को प्रतिशत बिंदु अंतर के साथ भ्रमित करना। 10% ब्याज दर से 12% दर पर जाना “2 प्रतिशत बिंदु” की वृद्धि है, लेकिन दर में ही “20% की वृद्धि” है (2 ÷ 10 × 100) — दोनों संख्याएँ सही हैं, लेकिन अलग-अलग सवालों के उत्तर देती हैं।
• कमी के लिए गलत आधार मान का उपयोग करना। एक मान जो 20% गिरता है और फिर 20% बढ़ता है, मूल संख्या पर वापस नहीं आता, क्योंकि दूसरा 20% पहले से घटे हुए छोटे मान पर गणना किया जाता है — दोनों प्रतिशत अलग-अलग आधार राशियों पर लागू होते हैं।
• “का प्रतिशत” और “प्रतिशत परिवर्तन” को मिलाना। “80 का 15% क्या है?” (सीधा गुणन) और “80, 92 तक पहुँचने के लिए कितने प्रतिशत बदला?” (परिवर्तन गणना) ऊपर अलग-अलग मोड का उपयोग करते हैं — पूछे गए सवाल के लिए गलत मोड चुनने से तकनीकी रूप से सही लेकिन अप्रासंगिक उत्तर मिलता है।

जानने योग्य बात

“Y का X%” हमेशा “X का Y%” के बराबर होता है — एक वास्तव में उपयोगी मानसिक गणित शॉर्टकट। उदाहरण के लिए, 50 का 8% और 8 का 50% दोनों बिल्कुल 4 के बराबर हैं। यह किन्हीं भी दो संख्याओं के लिए सत्य है, क्योंकि दोनों केवल एक ही गुणन (X ÷ 100 × Y) को अलग क्रम में लिखा गया है। यह तब उपयोगी होता है जब एक दिशा में मानसिक रूप से गणना करना दूसरी की तुलना में बहुत आसान हो — 8 का 50% स्पष्ट रूप से 4 है, इसलिए 50 का 8% भी वही होना चाहिए, बिना उसी गणना के अधिक कठिन दिखने वाले संस्करण को हल किए।