Interpolazione Lineare

Stimare un Valore Tra Due Punti Noti

L’interpolazione lineare stima un valore sconosciuto tra due punti noti, assumendo una relazione lineare tra loro. Inserisci due punti noti (x, y) e il valore x per cui vuoi una stima, e questa calcolatrice trova la y corrispondente.

La formula

$$\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

dove $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ sono i tuoi due punti noti e $x$ è il valore per cui vuoi una stima.

Esempio risolto

Un’auto si trova a 50 miglia alle 2 ore, e a 140 miglia alle 5 ore. Dove si trovava alle 3,5 ore?

1. $y = 50 + (3,5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1,5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ miglia}}$

Fattori Chiave da Considerare

• Interpolare tra due punti è generalmente più affidabile che estrapolare oltre di essi. Un valore x obiettivo che cade tra i tuoi due punti noti rimane all’interno dell’intervallo in cui la relazione è stata effettivamente osservata, mentre un obiettivo al di fuori di quell’intervallo presuppone che la stessa tendenza lineare continui invariata — un presupposto sempre più rischioso quanto più ci si allontana dall’intervallo noto.
• Questo metodo è esatto per una relazione veramente lineare, e solo un’approssimazione altrimenti. Un processo fisico a velocità costante, un tasso fisso, o qualsiasi relazione genuinamente rettilinea dà una risposta esatta con questa formula — ma la maggior parte dei processi del mondo reale (come la crescita composta o l’accelerazione) in realtà si incurva, quindi più i tuoi due punti noti sono distanti, più una stima lineare può divergere dalla realtà a metà strada tra loro.
• Le tabelle di riferimento (come le tabelle di consultazione in ingegneria, le tabelle del vapore, o le tabelle attuariali) si basano comunemente sull’interpolazione lineare tra i valori elencati. Invece di pubblicare ogni possibile valore di input, una tabella elenca un insieme gestibile di punti noti e si aspetta che il lettore interpoli tra di essi — questo è uno degli usi pratici più comuni di questa esatta tecnica.
• Aggiungere un terzo punto noto può rivelare se la linearità sia effettivamente un presupposto ragionevole. Se un terzo punto che conosci cade vicino alla retta tracciata tra gli altri due, l’interpolazione lineare è probabilmente affidabile in quell’intervallo — se cade lontano da quella retta, la relazione sottostante probabilmente si incurva e una stima rettilinea dovrebbe essere trattata con più cautela.

Errori Comuni

• Estrapolare ben oltre l’intervallo noto e trattare il risultato con la stessa fiducia di un’interpolazione. Un valore obiettivo al di fuori dei tuoi due punti noti presuppone che la tendenza continui invariata — un presupposto molto più rischioso rispetto a stimare un valore che cade realmente tra di essi.
• Presupporre una relazione lineare senza verificare se il processo reale sia effettivamente lineare. Processi come la crescita composta o l’accelerazione si incurvano invece di seguire una linea retta, quindi una stima lineare può essere notevolmente sbagliata, specialmente lontano dai punti noti.
• Confondere quale punto noto sia quale. Scambiare x1/y1 con x2/y2 nella formula produce una pendenza diversa (ed errata) — verifica due volte che i valori x e y di ciascun punto noto siano stati inseriti correttamente insieme.
• Usare due punti noti molto distanti tra loro quando la relazione sottostante non è lineare. Più ampio è il divario tra i tuoi due punti, più spazio ha una curva per discostarsi dalla retta che li collega — punti noti più vicini e più rilevanti generalmente producono una stima più affidabile.

Utile da Sapere

• Hai diversi punti dati invece di solo due, e vuoi l’unica retta che si adatta meglio a tutti loro? La calcolatrice Calcolatrice di Regressione ai Minimi Quadrati gestisce questo caso più ampio.
• Hai bisogno della pendenza tra due punti invece di un valore stimato in un terzo? La calcolatrice Calcolatore Distanza, Punto Medio e Pendenza copre questo direttamente.