Regressione ai Minimi Quadrati

Adattare una Retta a Punti Dati Sparsi

La regressione dei minimi quadrati trova l’unica retta che meglio si adatta a un insieme di punti dati. Inserisci un elenco di coppie x, y — una per riga — e questa calcolatrice trova la pendenza e l’intercetta della retta, oltre a quanto strettamente i punti seguono effettivamente quella retta.

La formula

$$\vC{m} = \frac{n\sum{xy} - \sum{x}\sum{y}}{n\sum{x^2} - \left(\sum{x}\right)^2}$$ $$\vC{b} = \frac{\sum{y} - m\sum{x}}{n}$$

dove $m$ è la pendenza, $b$ è l’intercetta, e $n$ è il numero di punti dati — insieme, descrivono la retta $y = mx + b$ che minimizza la distanza al quadrato totale di ogni punto dalla retta.

Esempio risolto

Adattamento di una retta attraverso (1, 1), (2, 2), e (3, 4):

1. $m = \frac{3(17) - 6(7)}{3(14) - 6^2} = \frac{51 - 42}{42 - 36} = \frac{9}{6} = \vC{1,5}$
2. $b = \frac{7 - 1,5(6)}{3} = \frac{7 - 9}{3} = \vC{-0,667}$ — la retta adattata è quindi $y = 1,5x - 0,667$, con un coefficiente di correlazione di circa $0,98$.

Fattori Chiave da Considerare

• Un forte coefficiente di correlazione non significa necessariamente che x causi effettivamente y. Due variabili possono essere fortemente correlate perché una influenza genuinamente l’altra, perché entrambe sono guidate da un terzo fattore, o puramente per coincidenza in un piccolo insieme di dati — la correlazione descrive la forza di una relazione lineare, non il motivo dietro di essa.
• Questo metodo presuppone che la vera relazione sia lineare, il che non è sempre il presupposto corretto. Se un insieme di punti segue in realtà una curva, forzare una retta attraverso di essi può produrre una retta tecnicamente di “miglior adattamento” che descrive comunque male i dati — visualizzare i punti graficamente prima di fidarsi dell’adattamento è buona pratica.
• Un singolo punto insolito (un valore anomalo) può tirare in modo sproporzionato la retta adattata verso di sé. Poiché i minimi quadrati minimizzano le distanze AL QUADRATO, un punto lontano dalla tendenza generale contribuisce molto di più all’adattamento di un punto vicino ad essa — un piccolo insieme di dati con un valore anomalo estremo è particolarmente sensibile a questo.
• Più punti dati generalmente producono un adattamento più affidabile, a parità di altre condizioni. Una retta adattata attraverso solo 3-4 punti (come nell’esempio pratico) può sembrare convincente ma comporta molta più incertezza della stessa relazione misurata su decine di punti — la sola forza della correlazione non cattura quanti dati effettivamente supportano l’adattamento.

Errori Comuni

• Trattare un coefficiente di correlazione elevato come prova di causalità. Un valore r elevato mostra solo che i punti si raggruppano strettamente attorno a una retta — non dice nulla sul fatto che una variabile causi effettivamente cambiamenti nell’altra.
• Adattare una retta a dati che sono in realtà curvi. I minimi quadrati restituiscono sempre una pendenza e un’intercetta, anche quando un adattamento lineare descrive male lo schema sottostante — traccia prima i punti, o verifica se il coefficiente di correlazione è sorprendentemente basso, prima di fidarti del risultato.
• Usare troppo pochi punti dati e trattare l’adattamento come affidabile. Una retta attraverso solo 3-4 punti può sembrare convincente ma comporta molta più incertezza della stessa relazione misurata su decine di punti.
• Lasciare che un singolo valore anomalo domini l’adattamento senza accorgersene. Poiché i minimi quadrati minimizzano distanze al quadrato, un punto molto lontano può tirare l’intera retta verso di sé — vale la pena verificare se rimuovere un punto insolito cambia sostanzialmente il risultato.

Utile da Sapere

• Hai bisogno di stimare un valore tra due punti noti invece di adattare una linea di tendenza attraverso molti punti? Il Calcolatrice di Interpolazione Lineare copre quel caso più diretto.
• Vuoi vedere come un valore specifico si confronta con la dispersione complessiva di un insieme di dati? Il Calcolatore Punteggio Z misura esattamente questo.
• Stai lavorando con lo stesso elenco di numeri per statistiche riassuntive più ampie? Il Calcolatore Statistiche copre media, mediana, e deviazione standard.