Breuk

Rekenen met Breuken

Het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, of delen van twee breuken combineert ze tot één vereenvoudigd resultaat. Voer twee breuken in en kies een bewerking, en deze calculator geeft het vereenvoudigde resultaat terug, het decimale equivalent, en een gemengd-getal-vorm wanneer het resultaat een onechte breuk is (teller groter dan noemer). Elke breuk heeft ook een optioneel geheel-getal-veld, zodat een gemengd getal zoals 1 1/2 direct kan worden ingevoerd in plaats van het eerst om te zetten naar de onechte breuk 3/2.

Een tweede modus, “Zet een decimaal getal om naar een breuk,” gaat de andere kant op: voer elk decimaal getal in en krijg het eenvoudigste equivalente breuk terug — nuttig om een meting of de decimale uitvoer van een calculator om te zetten naar een breuk die je daadwerkelijk kunt markeren op een meetlint of in een recept.

De Formule

Optellen of aftrekken vindt eerst een gemeenschappelijke noemer door kruis-vermenigvuldiging:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} + \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vD{d} + \vC{c} \times \vB{b}}{\vB{b} \times \vD{d}}$$

Vermenigvuldigen vermenigvuldigt direct kruislings:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} \times \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vC{c}}{\vB{b} \times \vD{d}}$$

Delen vermenigvuldigt met het omgekeerde van de tweede breuk:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} \div \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vD{d}}{\vB{b} \times \vC{c}}$$

Elk resultaat wordt vervolgens teruggebracht tot de eenvoudigste vorm door zowel de teller als de noemer te delen door hun grootste gemene deler.

Een decimaal getal omzetten naar een breuk gebruikt een kettingbreuk-expansie — de standaard methode voor het vinden van de eenvoudigste breuk die een gegeven decimaal getal nauw benadert, in plaats van gewoon cijfers na de komma af te lezen (wat een repeterend decimaal getal zoals 0,333333 zou omzetten naar een lelijke breuk zoals 333333/1000000 in plaats van de werkelijke 1/3 die het benadert).

Voorbeeldberekening

Het optellen van 1/2 en 1/3:

1. Gemeenschappelijke noemer: $2 \times 3 = 6$.
2. Teller: $1 \times 3 + 1 \times 2 = 5$.
3. Resultaat: $\frac{5}{6}$ (al in eenvoudigste vorm) — ongeveer 0,8333.

Het optellen van 1/2 en 2/3 in plaats daarvan geeft een onechte breuk: $\frac{7}{6}$, wat deze calculator ook toont als het gemengde getal 1 1/6.

Belangrijke Factoren Om Te Overwegen

• Vereenvoudigen tot de kleinste termen geeft altijd een gelijkwaardige waarde, niet slechts een “netter ogend” getal. Het herleiden van 5/10 naar 1/2 verandert niet welk deel van een geheel het vertegenwoordigt — beide beschrijven exact dezelfde hoeveelheid, alleen uitgedrukt met kleinere getallen, wat waarom de vereenvoudigde vorm de conventie is en geen noodzaak.
• Kruis-vermenigvuldigen om op te tellen of af te trekken werkt voor elke twee breuken, maar is niet altijd de meest efficiënte methode. Het vinden van de kleinste gemene deler (in plaats van simpelweg de twee noemers met elkaar te vermenigvuldigen, wat de kruis-vermenigvuldig-aanpak van deze calculator doet voor het vereenvoudigen) kan soms kleinere tussenliggende getallen opleveren — maar beide methoden komen altijd uit op hetzelfde uiteindelijke, vereenvoudigde antwoord.
• Een negatieve breuk volgt dezelfde regels, waarbij het teken door elke bewerking wordt bijgehouden. Het vermenigvuldigen of delen van breuken met verschillende tekens (één positief, één negatief) geeft een negatief resultaat, volgens dezelfde tekenregels als gewone vermenigvuldiging en deling.
• Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde ervan, een regel die het onthouden waard is buiten deze calculator om. Deze “omdraaien en vermenigvuldigen”-kortweg voor breukdeling komt rechtstreeks voort uit de definitie van deling als het omgekeerde van vermenigvuldiging, en geldt of je nu met de hand deelt of een hulpmiddel zoals dit gebruikt.

Veelgemaakte Fouten

• Breuken optellen of aftrekken door tellers en noemers direct te combineren. Zoals hierboven besproken, hebben breuken een gemeenschappelijke noemer nodig voordat de tellers gecombineerd kunnen worden — 1/2 + 1/3 optellen als (1+1)/(2+3) geeft het verkeerde antwoord (2/5) in plaats van het juiste 5/6.
• Vergeten het eindresultaat te vereenvoudigen. Zoals hierboven besproken, is een niet-vereenvoudigd antwoord zoals 4/8 wiskundig correct maar niet in de conventioneel eenvoudigste vorm (1/2) die de meeste contexten verwachten — reduceer altijd met de grootste gemene deler voordat je een resultaat als definitief beschouwt.
• De verkeerde breuk omdraaien bij het delen. Zoals hierboven besproken, betekent delen door een breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk — de eerste breuk omdraaien in plaats van de tweede geeft het omgekeerde van het juiste antwoord, niet het antwoord zelf.
• Een decimaal getal omzetten naar een breuk door simpelweg de cijfers na de komma af te lezen. Zoals hierboven besproken, werkt dit voor een eindig decimaal getal maar levert het een onnodig grote, niet-vereenvoudigde breuk op voor een repeterend getal — 0,333333 letterlijk gelezen wordt 333333/1000000 in plaats van de werkelijke 1/3 die het benadert.

Goed Om Te Weten

• Een gemengd getal en zijn onechte-breuk-vorm vertegenwoordigen altijd dezelfde waarde — 1 1/2 en 3/2 zijn twee verschillende manieren om een identieke hoeveelheid te schrijven, nuttig voor verschillende contexten (een recept leest natuurlijker als een gemengd getal, terwijl verdere berekeningen vaak eenvoudiger zijn met een onechte breuk).
• De grootste gemene deler die wordt gebruikt om een breuk te vereenvoudigen is dezelfde GGD die de GGD/KGV-calculator berekent — het is de moeite waard om daar te kijken als je die stap apart uitgewerkt wilt zien.
• Deze calculator combineert natuurlijk met de Verhoudingscalculator (voor het vergelijken van twee hoeveelheden in plaats van ze te combineren) en de Staartdelingcalculator (voor het delingsproces waar de decimale equivalent van een breuk vandaan komt).