Kwadratische Formule

ax² + bx + c = 0 Oplossen voor Elke Waarde van x

De abc-formule lost elke vergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0 op voor x, met alleen de drie coëfficiënten van de vergelijking. Voer a, b, en c in, en deze calculator vindt elke waarde van x die de vergelijking waar maakt — inclusief het geval waar het antwoord complexe getallen bevat in plaats van reële.

Een kwadratische vergelijking heeft altijd precies twee oplossingen wanneer correct geteld: twee verschillende reële getallen, één reëel getal twee keer geteld (een “herhaalde wortel”), of een paar complexe getallen. Welk geval van toepassing is hangt volledig af van het teken van de discriminant (het deel onder de vierkantswortel) — deze calculator vertelt je welke je hebt, niet alleen de ruwe getallen.

De Formule

Voor $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (met $\vA{a} \neq 0$):

$$x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}$$

De term onder de vierkantswortel, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$, wordt de discriminant genoemd:

Voorbeeldberekening

Voor $x^2 - 3x + 2 = 0$ ($\vA{a}=1$, $\vB{b}=-3$, $\vC{c}=2$):

1. Discriminant: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$, wat positief is, dus zijn er twee verschillende reële wortels.
2. $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$.
3. $x = \frac{4}{2} = 2$ of $x = \frac{2}{2} = 1$.

Controle: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ en $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — beide oplossingen kloppen.

Belangrijke Factoren Om Te Overwegen

• De oplossingen van een kwadratische vergelijking zijn precies waar de grafiek (een parabool) de x-as kruist. Twee verschillende reële wortels betekenen dat de parabool de x-as op twee punten kruist; een herhaalde wortel betekent dat de parabool de as op slechts één punt raakt (de top); complexe wortels betekenen dat de parabool de x-as helemaal niet raakt, en volledig erboven of eronder blijft.
• De discriminant alleen vertelt je al de AARD van de oplossingen voordat er verdere berekeningen worden gedaan. Controleren of $b^2 - 4ac$ positief, nul of negatief is, is een snelle manier om vooraf te weten of een vergelijking twee reële oplossingen, één herhaalde oplossing, of een complex-geconjugeerd paar heeft, zonder eerst de rest van de formule te hoeven invullen.
• De coëfficiënt a van een kwadratische vergelijking mag nooit nul zijn, anders is het geen kwadratische vergelijking meer. Als a = 0, verdwijnt de term $x^2$ volledig en wordt de vergelijking lineair (met hoogstens één oplossing, gevonden met eenvoudige algebra) in plaats van kwadratisch — daarom is de abc-formule zelf alleen geldig, en alleen nodig, wanneer a ongelijk aan nul is.
• Complexe wortels komen bij een kwadratische vergelijking met reële coëfficiënten altijd in geconjugeerde paren voor. Wanneer de discriminant negatief is, hebben de twee oplossingen altijd de vorm $p + qi$ en $p - qi$ (identieke reële delen, tegengesteld getekende imaginaire delen) — deze paarsgewijze vorm is een direct gevolg van de ± in de formule toegepast op een negatief getal onder de vierkantswortel.

Veelgemaakte Fouten

• De ± vergeten en slechts één wortel opgeven. Het ± teken in de abc-formule betekent dat er twee aparte berekeningen te doen zijn (één met +, één met -) — na de eerste stoppen mist de helft van het antwoord zodra de discriminant niet precies nul is.
• Een negatieve discriminant behandelen als “geen oplossing” in plaats van een complexe oplossing. Een negatieve discriminant betekent dat de vergelijking geen REËLE oplossing heeft, maar wel nog twee geldige complexe oplossingen — de vergelijking is niet onoplosbaar, alleen niet oplosbaar binnen de reële getallen.
• a = 0 invoeren en een kwadratisch antwoord verwachten. Zonder een a ongelijk aan nul is de vergelijking lineair, niet kwadratisch, en wordt de deling door 2a in de formule ongedefinieerd — een lineaire vergelijking heeft in plaats daarvan eenvoudige algebra nodig.

Goed Om Te Weten

• Heb je alleen een vierkantswortel of n-de-machtswortel nodig in plaats van een hele vergelijking op te lossen? Vierkantswortel / N-de Wortel Calculator berekent vierkantswortels en n-de- machtswortels direct.
• Werk je met exponenten op zichzelf? Exponent Calculator berekent machten en wortels.
• Heb je een bredere calculator nodig voor trigonometrie, logaritmen of andere functies buiten deze vergelijking? Wetenschappelijke Calculator behandelt een breed scala aan wetenschappelijke berekeningen.