Lineær Interpolasjon

Å Estimere en Verdi Mellom To Kjente Punkter

Lineær interpolasjon estimerer en ukjent verdi mellom to kjente datapunkter ved å anta at sammenhengen mellom dem følger en rett linje. Skriv inn to kjente punkter (x, y) og x-verdien du ønsker et estimat for, og denne kalkulatoren finner tilhørende y.

Formel

$$\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

hvor $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ er dine to kjente punkter og $x$ er verdien du ønsker et estimat for.

Løst eksempel

En bil er ved 50 kilometer ved 2 timer, og ved 140 kilometer ved 5 timer. Hvor var den ved 3,5 timer?

1. $y = 50 + (3,5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1,5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ kilometer}}$

Viktige Faktorer å Vurdere

• Å interpolere mellom to punkter er generelt mer pålitelig enn å ekstrapolere utover dem. En målverdi for x som faller mellom dine to kjente punkter forblir innenfor området sammenhengen faktisk ble observert, mens en målverdi utenfor det området antar at samme rette linje-trend fortsetter uendret — en antakelse som blir mer risikabel jo lenger utenfor det kjente området du går.
• Denne metoden er eksakt for en genuint lineær sammenheng, og bare en tilnærming ellers. En fysisk prosess med konstant hastighet, en fast rate, eller enhver genuint rett linje-sammenheng gir et eksakt svar gjennom denne formelen — men de fleste virkelige prosesser (som rentesrente eller akselerasjon) kurver faktisk, så jo lengre fra hverandre dine to kjente punkter er, desto mer kan et rett linje-estimat avvike fra virkeligheten et sted midt mellom dem.
• Referansetabeller (som oppslagstabeller innen ingeniørfag, damp-tabeller, eller aktuartabeller) baserer seg ofte på lineær interpolasjon mellom oppførte verdier. I stedet for å publisere hver mulig inndataverdi, lister en tabell opp et håndterbart sett med kjente punkter og forventer at leseren interpolerer mellom dem — dette er en av de mest vanlige praktiske bruksområdene for nettopp denne teknikken.
• Å legge til et tredje kjent punkt kan avsløre om linearitet faktisk er en rimelig antakelse. Hvis et tredje punkt du kjenner faller nær linjen tegnet mellom de to andre, er lineær interpolasjon sannsynligvis pålitelig i det området — hvis det faller langt fra den linjen, kurver den underliggende sammenhengen sannsynligvis, og et rett linje-estimat bør behandles med mer forsiktighet.

Vanlige Feil

• Å ekstrapolere langt utenfor det kjente området og behandle resultatet med samme tillit som en interpolasjon. En målverdi utenfor dine to kjente punkter antar at trenden fortsetter uendret — en langt mer risikabel antakelse enn å estimere en verdi som faktisk faller mellom dem.
• Å anta en lineær sammenheng uten å sjekke om den virkelige prosessen faktisk er lineær. Prosesser som rentesrente eller akselerasjon kurver i stedet for å følge en rett linje, så et lineært estimat kan være merkbart feil, spesielt langt fra de kjente punktene.
• Å forveksle hvilket kjent punkt som er hvilket. Å bytte om x1/y1 med x2/y2 i formelen gir en annen (og feil) stigning — dobbeltsjekk at x- og y-verdiene til hvert kjente punkt er angitt riktig sammen.
• Å bruke to kjente punkter som ligger veldig langt fra hverandre når den underliggende sammenhengen ikke er lineær. Jo bredere gapet mellom dine to punkter er, desto mer rom har en kurve til å avvike fra den rette linjen som forbinder dem — nærmere, mer relevante kjente punkter gir generelt et mer pålitelig estimat.

Godt å Vite

• Har du flere datapunkter i stedet for bare to, og vil du ha den ene linjen som passer best til dem alle? Minste Kvadraters Metode Kalkulator-kalkulatoren håndterer det bredere tilfellet.
• Trenger du stigningen mellom to punkter i stedet for en estimert verdi ved et tredje? Avstand, Midtpunkt og Stigningstall-kalkulator -kalkulatoren dekker det direkte.