Matrisekalkulator

Anvende Regler for Matrisealgebra på et Gitter Man Kan Endre Størrelsen På

En matrise er et rektangulært gitter av tall som kan adderes, subtraheres, multipliseres, eller transformeres som én enkelt enhet, og følger sitt eget regelsett distinkt fra vanlig aritmetikk. Velg en operasjon, bygg Matrise A (og Matrise B, hvis operasjonen trenger det) ved bruk av +/- rad- og kolonneknappene for å endre størrelsen på hvert gitter til hvilke dimensjoner du trenger, og denne kalkulatoren bruker den tilhørende regelen.

Addisjon og subtraksjon krever at begge matrisene har nøyaktig samme størrelse. Multiplikasjon krever at Matrise As antall kolonner samsvarer med Matrise Bs antall rader (resultatet tar Matrise As antall rader og Matrise Bs antall kolonner). Determinanten finnes bare for en kvadratisk matrise (samme antall rader og kolonner). Transponering fungerer på en matrise av enhver form, ved å bytte om radene og kolonnene.

Denne kalkulatoren forsøker ikke radreduksjon, matriseinverser, eller egenverdier — et genuint annet, mye større foretak enn operasjonene her.

Formelen

Eksemplene nedenfor bruker 2x2-matriser for å illustrere hver regel tydelig — de samme reglene utvides direkte til enhver størrelse matrise gitteret ovenfor støtter. La Matrise A ha oppføringene $\vA{a_{11}}, \vA{a_{12}}, \vA{a_{21}}, \vA{a_{22}}$ og Matrise B ha oppføringene $\vB{b_{11}}, \vB{b_{12}}, \vB{b_{21}}, \vB{b_{22}}$, hver skrevet som

$$A = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{12}} \\ \vA{a_{21}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} \vB{b_{11}} & \vB{b_{12}} \\ \vB{b_{21}} & \vB{b_{22}} \end{bmatrix}$$

• Addisjon/Subtraksjon kombinerer matchende posisjoner én om gangen: $A \pm B = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} \pm \vB{b_{11}} & \vA{a_{12}} \pm \vB{b_{12}} \\ \vA{a_{21}} \pm \vB{b_{21}} & \vA{a_{22}} \pm \vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
• Multiplikasjon er IKKE elementvis — hver oppføring av resultatet er et «rad ganger kolonne»- prikkprodukt: $AB = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{11}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{22}} \\ \vA{a_{21}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{21}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
• Determinant er ett enkelt tall som beskriver hvor mye matrisen skalerer areal: $\det(A) = \vA{a_{11}}\vA{a_{22}} - \vA{a_{12}}\vA{a_{21}}$
• Transponering vender matrisen om sin hoveddiagonal, og bytter de to av-diagonale oppføringene: $A^T = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{21}} \\ \vA{a_{12}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}$

Regneeksempel

Ved bruk av $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ og $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$:

1. Addisjon: $A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$.
2. Multiplikasjon: oppføringen øverst til venstre er $1 \times 5 + 2 \times 7 = 19$, øverst til høyre er $1 \times 6 + 2 \times 8 = 22$, nederst til venstre er $3 \times 5 + 4 \times 7 = 43$, og nederst til høyre er $3 \times 6 + 4 \times 8 = 50$, som gir $AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$.
3. Determinant til A: $1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$.

Viktige Faktorer å Vurdere

• Matrisemultiplikasjon er generelt IKKE kommutativ — rekkefølgen betyr noe. I motsetning til vanlig tallmultiplikasjon er AB vanligvis ikke lik BA for matriser, og én rekkefølge er kanskje ikke engang matematisk gyldig hvis dimensjonene ikke stemmer riktig — hold alltid styr på hvilken matrise som kommer først.
• En determinant på null betyr at en kvadratisk matrise er «singulær» og ikke har noen invers. Dette er en vanlig grunn til at en matriseoperasjon et annet sted feiler (som å prøve å løse et system av lineære ligninger) — en null-forskjellig determinant er nødvendig for at matrisen skal være inverterbar.
• Matriser er standardverktøyet bak lineære transformasjoner i datagrafikk, fysikk, og ingeniørfag. Å rotere, skalere, og skjære en 2D- eller 3D-form (vanlig i spillutvikling og animasjon) uttrykkes alle som matrisemultiplikasjon mot et sett med koordinatpunkter.
• Matrisedimensjoner skrives alltid rader × kolonner, og denne rekkefølgen betyr noe for kompatibilitet. En 2×3-matrise har 2 rader og 3 kolonner — for at multiplikasjon skal være gyldig må den første matrisens antall kolonner samsvare med den andre matrisens antall rader, som er hvorfor AB kan være gyldig mens BA ikke er det, selv når begge matrisene ellers er kompatible i form.

Vanlige Feil

• Å multiplisere matriser elementvis i stedet for å bruke rad-ganger-kolonne-regelen. Matrisemultiplikasjon er ikke den samme operasjonen som addisjon eller subtraksjon — hver oppføring i resultatet er et prikkprodukt av en hel rad og en hel kolonne, ikke en enkelt parvis multiplikasjon.
• Å anta at AB og BA gir samme resultat. Matrisemultiplikasjon er generelt ikke kommutativ, og å snu rekkefølgen kan gi et helt annet resultat — eller til og med være matematisk ugyldig hvis dimensjonene ikke lenger stemmer overens.
• Å prøve å finne determinanten til en ikke-kvadratisk matrise. Determinanten er kun definert for kvadratiske matriser (samme antall rader og kolonner) — en 2×3- eller 3×2-matrise har rett og slett ingen.
• Å blande sammen dimensjonene til en matrise når man sjekker kompatibilitet. Størrelsen på en matrise er alltid rader × kolonner, i den rekkefølgen — å forveksle hvilket tall som er hvilket, er en vanlig kilde til forvirring om «hvorfor virker ikke denne multiplikasjonen».

Greit å Vite

• Jobber du med et ligningssystem som en matrise representerer? Andregradsligning-kalkulator håndterer tilfellet med én variabel direkte hvis det er det du faktisk trenger.
• Trenger du trigonometriske, logaritmiske, eller andre funksjoner ved siden av matriseoperasjoner? Vitenskapelig Kalkulator dekker det bredere verktøysettet.
• Jobber du med et stort datasett i stedet for en liten matrise? Statistikkalkulator beregner gjennomsnitt, median, og standardavvik direkte fra en liste med tall.