Andregradsligning

Å Løse ax² + bx + c = 0 for Hver Verdi av x

Andregradsformelen løser enhver ligning på formen ax² + bx + c = 0 for x, ved bruk av bare ligningens tre koeffisienter. Angi a, b, og c, og denne kalkulatoren finner hver verdi av x som gjør ligningen sann — inkludert tilfellet der svaret involverer komplekse tall i stedet for reelle.

En andregradsligning har alltid nøyaktig to løsninger når telt korrekt: to distinkte reelle tall, ett reelt tall telt to ganger (en «gjentatt rot»), eller et par komplekse tall. Hvilket tilfelle som gjelder avhenger helt av fortegnet til diskriminanten (delen under kvadratroten ) — denne kalkulatoren forteller deg hvilken du har, ikke bare de rå tallene.

Formelen

For $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (med $\vA{a} \neq 0$):

$$x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}$$

Leddet under kvadratroten, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$, kalles diskriminanten:

Regneeksempel

For $x^2 - 3x + 2 = 0$ ($\vA{a}=1$, $\vB{b}=-3$, $\vC{c}=2$):

1. Diskriminant: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$, som er positiv, så det er to distinkte reelle røtter.
2. $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$.
3. $x = \frac{4}{2} = 2$ eller $x = \frac{2}{2} = 1$.

Sjekker: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ og $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — begge løsningene stemmer.

Viktige Faktorer å Vurdere

• En andregradsligning sine løsninger er nøyaktig der grafen (en parabel) krysser x-aksen. To distinkte reelle røtter betyr at parabelen krysser x-aksen på to punkter; en gjentatt rot betyr at den bare berører aksen på ett punkt (toppunktet); komplekse røtter betyr at parabelen aldri berører x-aksen i det hele tatt, og forblir helt over eller under den.
• Diskriminanten alene forteller deg NATUREN til løsningene før du gjør noen videre beregning. Å sjekke om $b^2 - 4ac$ er positiv, null, eller negativ er en rask måte å vite på forhånd om en ligning har to reelle løsninger, én gjentatt løsning, eller et kompleks-konjugert par, uten å måtte fullføre resten av formelen først.
• En andregradsligning sin a-koeffisient kan aldri være null, ellers slutter den å være andregrads. Hvis a = 0, forsvinner $x^2$-leddet helt og ligningen blir lineær (høyst én løsning, funnet ved enkel algebra) i stedet for andregrads — dette er hvorfor andregradsformelen selv bare er gyldig, og bare nødvendig, når a er forskjellig fra null.
• Komplekse røtter kommer alltid i konjugerte par for en andregradsligning med reelle koeffisienter. Når diskriminanten er negativ, tar de to løsningene alltid formen $p + qi$ og $p - qi$ (identiske reelle deler, motsatt fortegnede imaginære deler) — denne sammenkoblingen er en direkte konsekvens av ± i formelen anvendt på et negativt tall under kvadratroten.

Vanlige Feil

• Å glemme ± og bare oppgi én rot. ±-tegnet i andregradsformelen betyr at det er to separate beregninger å gjøre (én med +, én med -) — å stoppe etter den første går glipp av halvparten av svaret når diskriminanten ikke er nøyaktig null.
• Å behandle en negativ diskriminant som «ingen løsning» i stedet for en kompleks løsning. En negativ diskriminant betyr at ligningen ikke har noen REELL løsning, men den har fortsatt to gyldige komplekse løsninger — ligningen er ikke uløselig, bare ikke løsbar innenfor de reelle tallene.
• Å angi a = 0 og forvente et andregradssvar. Uten en a som ikke er null, er ligningen lineær, ikke andregrads, og formelens divisjon med 2a blir udefinert — en lineær ligning trenger enkel algebra i stedet.

Greit å Vite

• Trenger du bare en kvadratrot eller n-te rot i stedet for å løse en hel ligning? Kvadratrot / N-te Rot-kalkulator beregner kvadratrøtter og n-te røtter direkte.
• Jobber du med potenser alene? Eksponentkalkulator beregner potenser og røtter.
• Trenger du en bredere kalkulator for trigonometri, logaritmer eller andre funksjoner utover denne ligningen? Vitenskapelig Kalkulator håndterer et bredt spekter av vitenskapelige beregninger.