Beregning av SFF og MFM
Den Største Felles Faktoren (SFF, også kalt SFD) til et sett med tall er det største tallet som deler jevnt inn i dem alle, og den Minste Felles Multiplum (MFM) er det minste tallet som de alle deler jevnt inn i. Angi to eller flere hele tall, så finner denne kalkulatoren begge umiddelbart.
Metoden
SFF finnes ved bruk av Euklids algoritme — en metode som daterer tilbake over 2 000 år: del gjentatte ganger det større tallet på det mindre og erstatt det større med resten, inntil resten når null. Den siste ikke-null-verdien er SFF.
Når SFF er kjent, følger MFM av to tall direkte:
For mer enn to tall anvender denne kalkulatoren begge metodene parvis på tvers av hele listen.
Regneeksempel
Å finne SFF og MFM av 12 og 18:
- Euklids algoritme: 18 ÷ 12 gir en rest på 6; 12 ÷ 6 gir en rest på 0. SFF er .
- .
Viktige Faktorer å Vurdere
- To tall med en SFF på 1 kalles “innbyrdes primiske” eller “relativt primiske,” en genuint nyttig klassifisering. Når SFF er 1, deler de to tallene ingen felles faktorer utenom 1 — dette har betydning innen felt som kryptografi og tallteori, og det betyr også at deres MFM ganske enkelt er produktet deres.
- Euklids algoritme er dramatisk raskere enn å liste opp hver faktor for store tall. Å finne SFF ved å liste opp alle faktorene til hvert tall og sammenligne dem blir upraktisk for store tall — Euklids algoritme finner svaret på bare noen få trinn uansett hvor store tallene er, som er nøyaktig hvorfor det er standardmetoden etter over 2 000 år.
- SFF og MFM generaliserer greit til mer enn to tall, ved å bruke samme parvise byggekloss. Å anvende to-talls-formelen på tvers av en liste — SFF(SFF(a,b), c), og tilsvarende for MFM — utvider begge konseptene korrekt til et hvilket som helst antall inndata, som er nøyaktig hvordan denne kalkulatoren håndterer en liste lengre enn to tall.
- Disse konseptene dukker stadig opp utenfor ren matematikk, i planleggings- og ressursdelingsproblemer. Utover å forenkle brøker, svarer MFM på “når stemmer to gjentagende hendelser neste gang overens” (som busstidsplaner eller blinkende lys), og SFF svarer på “hva er den største like store gruppen jeg kan dele disse inn i” (som å dele elementer inn i identiske bunter uten noe til overs).
Vanlige Feil
- Å blande sammen hvilken som er SFF og hvilken som er MFM. Navnene høres like ut og er lette å bytte om ved en feil — SFF er alltid den minste av de to resultatene (en felles faktor, så den kan ikke overstige det minste inndatatallet), mens MFM alltid er den største (et felles multiplum, så det er minst like stort som det største inndatatallet).
- Å anta at SFF må være ett av tallene som sammenlignes. Som nevnt over er SFF det største tallet som deler jevnt inn i hvert inndata — for 12 og 18 er det 6, ikke 12 eller 18 selv, selv om begge også deler jevnt inn i minst ett av inndataene.
- Å liste opp hver faktor for hånd for store tall i stedet for å bruke Euklids algoritme. Som nevnt over blir dette tregt og feilutsatt etter hvert som tallene vokser — Euklids algoritme, som denne kalkulatoren bruker, finner det samme svaret på bare noen få trinn uansett størrelse.
- Å multiplisere de to tallene for å få MFM uten å først dele på SFF. Som nevnt over gir enkel multiplikasjon bare det korrekte MFM når de to tallene er innbyrdes primiske (SFF på 1) — for tall som deler en felles faktor, produserer det å hoppe over divisjonen med SFF et multiplum av det sanne MFM, ikke MFM selv.
Greit å Vite
- Å forenkle en brøk til sin enkleste form er nøyaktig en SFF-beregning — Brøkkalkulatoren forenkler brøker ved å bruke samme SFF som denne kalkulatoren beregner direkte.
- Å finne en felles nevner for å legge sammen eller trekke fra brøker er nøyaktig en MFM-beregning — samme sammenheng i motsatt retning.
- Primtallsfaktorisering-kalkulatoren og Forholdskalkulatoren støtter seg begge på den samme felles-faktor-ideen fra en annen vinkel — den ene bryter et tall ned i sine primtallsbyggeklosser, den andre reduserer et forhold til sin enkleste heltallsform.