Interpolação Linear

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Estimando um Valor Entre Dois Pontos Conhecidos

A interpolação linear estima um valor desconhecido entre dois pontos de dados conhecidos, assumindo uma relação linear entre eles. Insira dois pontos conhecidos (x, y) e o valor de x para o qual você deseja uma estimativa, e esta calculadora encontra o y correspondente.

A Fórmula

\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

onde $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ são seus dois pontos conhecidos e $x$ é o valor para o qual você deseja uma estimativa.

Exemplo Prático

Um carro está a 50 milhas às 2 horas, e a 140 milhas às 5 horas. Onde estava às 3,5 horas?

$y = 50 + (3,5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1,5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ milhas}}$

Principais Fatores a Considerar

Interpolar entre dois pontos é geralmente mais confiável do que extrapolar além deles. Um valor alvo de x que cai entre seus dois pontos conhecidos permanece dentro da faixa em que a relação foi realmente observada, enquanto um alvo fora dessa faixa assume que a mesma tendência em linha reta continua inalterada — uma suposição que fica mais arriscada quanto mais longe da faixa conhecida você for.
Este método é exato para uma relação verdadeiramente linear, e apenas uma aproximação caso contrário. Um processo físico com velocidade constante, uma taxa fixa, ou qualquer relação genuinamente em linha reta dá uma resposta exata através desta fórmula — mas a maioria dos processos do mundo real (como crescimento composto ou aceleração) na verdade se curva, então quanto mais distantes seus dois pontos conhecidos estiverem, mais uma estimativa em linha reta pode divergir da realidade em algum ponto entre eles.
Tabelas de referência (como tabelas de consulta em engenharia, tabelas de vapor, ou tabelas atuariais) comumente dependem da interpolação linear entre valores listados. Em vez de publicar todo valor de entrada possível, uma tabela lista um conjunto administrável de pontos conhecidos e espera que o leitor interpole entre eles — este é um dos usos práticos mais comuns exatamente desta técnica.
Adicionar um terceiro ponto conhecido pode revelar se a linearidade é realmente uma suposição razoável. Se um terceiro ponto que você conhece cai próximo da linha traçada entre os outros dois, a interpolação linear provavelmente é confiável nessa faixa — se cair longe dessa linha, a relação subjacente provavelmente se curva e uma estimativa em linha reta deve ser tratada com mais cautela.

Erros Comuns

Extrapolar bem além da faixa conhecida e tratar o resultado com a mesma confiança de uma interpolação. Um valor alvo fora dos seus dois pontos conhecidos assume que a tendência continua inalterada — uma suposição muito mais arriscada do que estimar um valor que realmente cai entre eles.
Assumir uma relação linear sem verificar se o processo real é realmente linear. Processos como crescimento composto ou aceleração se curvam em vez de seguir uma linha reta, então uma estimativa linear pode estar notavelmente errada, especialmente longe dos pontos conhecidos.
Confundir qual ponto conhecido é qual. Trocar x1/y1 por x2/y2 na fórmula produz uma inclinação diferente (e errada) — verifique duas vezes se os valores x e y de cada ponto conhecido foram inseridos corretamente juntos.
Usar dois pontos conhecidos muito distantes entre si quando a relação subjacente não é linear. Quanto mais ampla for a lacuna entre seus dois pontos, mais espaço uma curva tem para se desviar da linha reta que os conecta — pontos conhecidos mais próximos e relevantes geralmente produzem uma estimativa mais confiável.

Bom Saber

Você tem vários pontos de dados em vez de apenas dois, e quer a única linha que melhor se ajuste a todos eles? A calculadora Calculadora de Regressão de Mínimos Quadrados lida com esse caso mais amplo.
Precisa da inclinação entre dois pontos em vez de um valor estimado em um terceiro? A calculadora Calculadora de Distância, Ponto Médio e Inclinação cobre isso diretamente.

Fonte: Interpolação linear.

Perguntas Frequentes

O que é interpolação linear?

A interpolação linear estima um valor desconhecido entre dois pontos de dados conhecidos, assumindo que a relação entre eles segue uma linha reta. Se você sabe a posição de um carro às 2 horas e às 5 horas, a interpolação linear estima onde ele estava às 3,5 horas, assumindo uma velocidade constante durante todo o percurso.

Qual é a diferença entre interpolação e extrapolação?

A interpolação estima um valor que cai ENTRE seus dois pontos conhecidos, o que geralmente é confiável. A extrapolação estima um valor FORA desse intervalo, assumindo que a mesma tendência de linha reta continua além do que você realmente observou -- uma suposição mais arriscada quanto mais longe você for. Esta calculadora indica qual dos dois é realmente o seu resultado.

Quando a interpolação linear não é precisa?

A interpolação linear assume uma relação de linha reta entre seus dois pontos. Se a relação real for curva (como juros compostos, crescimento populacional ou aceleração), uma estimativa de linha reta pode estar visivelmente errada -- especialmente quanto mais distante seu valor alvo estiver dos dois pontos conhecidos.

Quais são alguns usos reais da interpolação linear?

É comumente usada para ler valores de tabelas de referência (como tabelas de consulta de engenharia ou tabelas atuariais) que listam apenas um conjunto limitado de pontos conhecidos, para estimar um ponto de dado ausente em uma série temporal, e em computação gráfica para misturar suavemente entre dois valores (como cores ou posições) ao longo de um intervalo.

Como posso saber se uma estimativa de linha reta é razoável para meus dados?

Se você tiver um terceiro ponto conhecido, verifique o quão perto ele cai da linha reta traçada entre seus outros dois pontos. Uma correspondência próxima sugere que a relação realmente é aproximadamente linear naquele intervalo; uma grande diferença sugere que a relação subjacente é curva, e uma estimativa por interpolação linear deve ser tratada com mais cautela.