Regressão de Mínimos Quadrados

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Ajustando uma Linha a Pontos de Dados Dispersos

A regressão de mínimos quadrados encontra a única linha reta que melhor se ajusta a uma dispersão de pontos de dados. Insira uma lista de pares x, y — um por linha — e esta calculadora encontra a inclinação e o intercepto da linha, além de quão de perto os pontos realmente seguem essa linha.

A Fórmula

\vC{m} = \frac{n\sum{xy} - \sum{x}\sum{y}}{n\sum{x^2} - \left(\sum{x}\right)^2}

\vC{b} = \frac{\sum{y} - m\sum{x}}{n}

onde $m$ é a inclinação, $b$ é o intercepto, e $n$ é o número de pontos de dados — juntos, eles descrevem a linha $y = mx + b$ que minimiza a distância quadrada total de cada ponto até a linha.

Exemplo Prático

Ajustando uma linha através de (1, 1), (2, 2), e (3, 4):

$m = \frac{3(17) - 6(7)}{3(14) - 6^2} = \frac{51 - 42}{42 - 36} = \frac{9}{6} = \vC{1,5}$
$b = \frac{7 - 1,5(6)}{3} = \frac{7 - 9}{3} = \vC{-0,667}$ — a linha ajustada é portanto $y = 1,5x - 0,667$ , com um coeficiente de correlação de aproximadamente $0,98$ .

Principais Fatores a Considerar

Um coeficiente de correlação forte não significa necessariamente que x realmente causa y. Duas variáveis podem estar fortemente correlacionadas porque uma genuinamente influencia a outra, porque ambas são impulsionadas por um terceiro fator, ou puramente por coincidência em um conjunto de dados pequeno — a correlação descreve a força de uma relação linear, não o motivo por trás dela.
Este método assume que a relação verdadeira é linear, o que nem sempre é a suposição correta. Se uma dispersão de pontos na verdade segue uma curva, forçar uma linha reta através dela pode produzir uma linha tecnicamente “melhor ajustada” que ainda descreve os dados mal — plotar os pontos visualmente antes de confiar no ajuste é uma boa prática.
Um único ponto incomum (um valor atípico) pode puxar desproporcionalmente a linha ajustada em sua direção. Porque os mínimos quadrados minimizam distâncias AO QUADRADO, um ponto distante da tendência geral contribui muito mais para o ajuste do que um ponto próximo dela — um conjunto de dados pequeno com um valor atípico extremo é especialmente sensível a isso.
Mais pontos de dados geralmente produzem um ajuste mais confiável, mantendo tudo mais igual. Uma linha ajustada através de apenas 3-4 pontos (como no exemplo prático) pode parecer convincente, mas carrega muito mais incerteza do que a mesma relação medida em dezenas de pontos — a força da correlação sozinha não capta quantos dados realmente sustentam o ajuste.

Erros Comuns

Tratar um coeficiente de correlação alto como prova de causalidade. Um valor r forte mostra apenas que os pontos se agrupam de perto em torno de uma linha — não diz nada sobre se uma variável realmente causa mudanças na outra.
Ajustar uma linha reta a dados que na verdade são curvos. Os mínimos quadrados sempre retornam uma inclinação e um intercepto, mesmo quando um ajuste linear descreve mal o padrão subjacente — plote os pontos primeiro, ou verifique se o coeficiente de correlação está surpreendentemente baixo, antes de confiar no resultado.
Usar poucos pontos de dados demais e tratar o ajuste como confiável. Uma linha através de apenas 3-4 pontos pode parecer convincente, mas carrega muito mais incerteza do que a mesma relação medida em dezenas de pontos.
Deixar um único valor atípico dominar o ajuste sem perceber. Como os mínimos quadrados minimizam distâncias ao quadrado, um ponto muito distante pode puxar toda a linha em sua direção — vale a pena verificar se remover um ponto incomum muda substancialmente o resultado.

Útil Saber

Precisa estimar um valor entre dois pontos conhecidos em vez de ajustar uma linha de tendência através de muitos? A Calculadora de Interpolação Linear cobre esse caso mais direto.
Quer ver como um valor específico se compara à dispersão geral de um conjunto de dados? A Calculadora de Escore Z mede exatamente isso.
Está trabalhando com a mesma lista de números para estatísticas resumidas mais amplas? A Calculadora de Estatística cobre média, mediana, e desvio padrão.

Fonte: Regressão linear simples.

Perguntas Frequentes

O que é regressão de mínimos quadrados?

A regressão de mínimos quadrados encontra a única linha reta que melhor se ajusta a uma dispersão de pontos de dados, minimizando a soma das distâncias verticais ao quadrado entre cada ponto e a linha. É o método padrão para descrever uma relação linear entre duas variáveis.

O que significam a inclinação e o intercepto?

A inclinação indica o quanto y muda a cada aumento de 1 unidade em x -- uma inclinação de 2 significa que y sobe 2 cada vez que x sobe 1. O intercepto é o valor de y previsto pela linha quando x é 0, que é onde a linha cruza o eixo vertical.

O que o coeficiente de correlação (r) me diz?

O coeficiente de correlação varia de -1 a 1 e mede o quanto os pontos se agrupam próximos à linha ajustada. Um valor próximo de 1 significa uma relação positiva forte (à medida que x sobe, y também sobe de forma confiável), próximo de -1 significa uma relação negativa forte, e próximo de 0 significa pouca ou nenhuma relação linear. R-quadrado (r²) é simplesmente r multiplicado por si mesmo, e é frequentemente lido como 'a porcentagem da variação em y que é explicada por x'.

Uma correlação forte significa que x causa y?

Não — a correlação apenas mede o quanto duas variáveis se movem juntas, não o motivo. Uma correlação forte pode refletir uma causalidade real, uma causa subjacente compartilhada afetando ambas as variáveis, ou uma simples coincidência, especialmente em um conjunto de dados pequeno. Não trate um coeficiente de correlação alto sozinho como prova de uma relação causal.

E se meus dados não seguirem realmente uma linha reta?

A regressão de mínimos quadrados sempre ajusta uma linha reta, mesmo a dados que genuinamente seguem uma curva — ela ainda retornará uma inclinação, um intercepto e um coeficiente de correlação, mas eles podem descrever a relação de forma ruim. Plotar seus pontos primeiro, ou verificar se o coeficiente de correlação está inesperadamente baixo, pode sinalizar quando um ajuste linear é a ferramenta errada para seus dados.