Permutação e Combinação

Contando Arranjos e Seleções de um Grupo

Uma permutação (nPr) conta de quantas formas arranjar r itens de um total de n onde a ordem importa, enquanto uma combinação (nCr) conta de quantas formas escolher r itens de um total de n onde a ordem não importa. Insira um número total de itens (n) e quantos você está escolhendo (r), e esta calculadora encontra ambas as respostas relacionadas de uma vez.

As Fórmulas

• Permutações: $P(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{\vA{n}!}{(\vA{n} - \vB{r})!}$ — equivalentemente, o produto de $\vB{r}$ números decrescentes começando em $\vA{n}$: $\vA{n} \times (\vA{n}-1) \times \cdots \times (\vA{n}-\vB{r}+1)$.
• Combinações: $C(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{P(\vA{n}, \vB{r})}{\vB{r}!}$ — a mesma contagem de permutações, dividida pelas $\vB{r}!$ formas com que esses mesmos $\vB{r}$ itens poderiam ser reordenados (já que a ordem não importa para uma combinação).

Exemplo Prático

Escolhendo 3 itens de um grupo de 10, onde a ordem importa (permutações):

$$P(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

A mesma escolha onde a ordem NÃO importa (combinações):

$$C(10,3) = 720 \div 3! = 720 \div 6 = 120$$

Uma Verificação do Mundo Real

As chances de acertar todos os 6 números em um sorteio de loteria 6-de-49 são de 1 em C(49,6) — exatamente 13.983.816 — já que a ordem em que os números são sorteados não muda se você ganhou ou não.

Principais Fatores a Considerar

• Se a ordem importa é a única pergunta que determina qual fórmula se aplica. Organizar os vencedores de medalhas em um pódio (1º, 2º, 3º lugar importam) é um problema de permutação, enquanto escolher quais 3 pessoas formam um comitê (sem classificação envolvida) é um problema de combinação — identificar essa distinção corretamente é a fonte de erro mais comum ao aplicar essas fórmulas.
• Combinações sempre produzem uma contagem igual ou menor do que permutações para o mesmo n e r. Como uma combinação agrupa todas as ordenações possíveis dos mesmos r itens em uma única contagem, C(n,r) é sempre P(n,r) dividido por r! — os dois valores só coincidem exatamente quando r é 0 ou 1, já que só há uma forma de arranjar 0 ou 1 itens independentemente da ordem.
• Tanto as contagens de permutação quanto as de combinação crescem extremamente rápido conforme n e r aumentam. Esse crescimento explosivo (chamado de explosão combinatória) é exatamente por que as chances no estilo loteria ficam tão astronomicamente pequenas com apenas um aumento modesto em quantos números são sorteados — passar de uma loteria 6-de-49 para uma 6-de-59, por exemplo, piora significativamente as chances apesar do conjunto crescer apenas 10 números.
• Essas fórmulas assumem que cada item é distinto e nenhum pode ser escolhido mais de uma vez. Um cenário que permite seleções repetidas (como um PIN de 4 dígitos onde os dígitos podem se repetir) usa uma fórmula de contagem totalmente diferente — sempre confirme se a repetição é permitida antes de aplicar as fórmulas padrão nPr/nCr aqui.

Erros Comuns

• Usar a contagem de permutações quando a ordem realmente não importa, ou vice-versa. Este é o erro mais comum — sempre pergunte primeiro se trocar dois itens selecionados contaria como um resultado diferente antes de escolher uma fórmula, em vez de adivinhar com base em como o problema está formulado.
• Esquecer que combinações nunca são maiores que permutações para os mesmos n e r. Se uma contagem de combinações resultar maior que a contagem de permutações correspondente para as mesmas entradas, algo foi inserido incorretamente — combinações dividem a contagem de permutações para baixo, nunca a aumentam.
• Aplicar essas fórmulas a uma situação que permite seleções repetidas. Ambas as fórmulas assumem que cada item pode ser escolhido no máximo uma vez — um problema que permite repetições (como gerar um PIN de 4 dígitos) precisa de uma abordagem de contagem totalmente diferente, não nPr ou nCr.

Útil Saber

• Quer realmente calcular as chances de um resultado específico, não apenas contar as possibilidades? Calculadora de Probabilidade transforma uma contagem de combinações ou permutações em uma probabilidade real.
• Está trabalhando com um conjunto de dados completo em vez de apenas contar arranjos? Calculadora de Estatística calcula a média, o desvio padrão e outras cifras resumidas a partir de uma lista de números.
• Precisa simplificar uma razão ou encontrar um denominador comum como parte de um problema de combinatória relacionado? Calculadora de MDC e MMC encontra o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de um conjunto de números.