Estatística

Como Encontrar a Média, Mediana, Moda e Dispersão

Esta calculadora encontra a média, mediana, moda, amplitude, variância e desvio padrão de qualquer lista de números. Cole ou digite seus números na caixa abaixo — separados por vírgulas, espaços, ou novas linhas, em qualquer combinação — e toda estatística descritiva comum é calculada de uma vez.

Média é a média aritmética. Mediana é o valor do meio quando os números são ordenados (ou a média dos dois valores do meio, para uma lista de tamanho par). Moda é qualquer valor (ou valores) que aparece com mais frequência — se cada número aparece exatamente uma vez, não há moda.

Desvio padrão mede o quão dispersos os números estão da média — um desvio padrão pequeno significa que os números estão agrupados perto uns dos outros; um grande significa que estão amplamente dispersos. Esta calculadora relata isso de duas formas: desvio padrão populacional (quando seus números são o grupo inteiro com o qual você se importa) e desvio padrão amostral (quando seus números são uma amostra usada para estimar uma população maior) — a versão amostral é ligeiramente maior, corrigindo o fato de que uma amostra tende a subestimar a verdadeira dispersão da população completa.

A Fórmula

$$\vC{\text{Média}} = \frac{\sum \vA{\text{Números}}}{\vB{\text{Contagem}}}$$ $$\vD{\text{Variância Populacional}} = \frac{\sum (\vA{\text{Número}} - \vC{\text{Média}})^2}{\vB{\text{Contagem}}}$$ $$\vD{\text{Variância Amostral}} = \frac{\sum (\vA{\text{Número}} - \vC{\text{Média}})^2}{\vB{\text{Contagem}} - 1}$$ $$\text{Desvio Padrão} = \sqrt{\vD{\text{Variância}}}$$

Populacional ou amostral, correspondendo a qual variância é usada.

A única diferença entre as versões populacional e amostral é dividir pela própria contagem versus a contagem menos um (conhecida como correção de Bessel) — tudo o mais é idêntico.

Exemplo Prático

Os números 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9:

1. Contagem: $\vB{8}$. Soma: $\vA{40}$. Média: $\vA{40} \div \vB{8} = \vC{5}$.
2. Ordenados: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — a mediana é a média dos dois valores do meio (4 e 5): $(4 + 5) \div 2 = 4,5$.
3. Moda: 4 (aparece três vezes, mais do que qualquer outro valor).
4. Amplitude: $9 - 2 = 7$.
5. Desvio padrão populacional: 2,0. Desvio padrão amostral: ≈2,14.

Fatores Importantes a Considerar

• Média e mediana podem contar histórias muito diferentes quando um conjunto de dados tem valores discrepantes ou é assimétrico. Um único valor muito grande ou muito pequeno puxa a média em sua direção, enquanto a mediana permanece ancorada no meio dos dados ordenados independentemente de valores extremos — é exatamente por isso que a renda mediana familiar, por exemplo, é comumente reportada em vez de (ou junto com) a renda média, já que algumas poucas rendas muito altas de outra forma distorceriam a média para cima.
• Escolher entre desvio padrão populacional ou amostral depende inteiramente do que seus números realmente representam, não de preferência. Se os números inseridos são o grupo INTEIRO com o qual você se importa (cada aluno de uma turma específica), use populacional. Se são uma AMOSTRA destinada a estimar um grupo maior (uma pesquisa com alguns clientes destinada a representar todos os clientes), use amostral — escolher o errado sistematicamente subestima ou superestima a verdadeira variabilidade.
• Um conjunto de dados pode não ter moda, ter uma moda, ou ter múltiplas modas, ao contrário da média e mediana, que são sempre valores únicos. Se cada valor de uma lista aparece exatamente uma vez, simplesmente não há moda — e se dois ou mais valores empatam como mais frequentes, um conjunto de dados pode genuinamente ser “bimodal” ou “multimodal”, o que em si costuma ser um sinal significativo sobre os dados subjacentes.
• O desvio padrão é interpretado de forma mais intuitiva para distribuições aproximadamente em formato de sino (normais), onde aproximadamente 68% dos valores caem dentro de um desvio padrão da média. Para dados fortemente assimétricos ou com um formato muito diferente, o desvio padrão ainda é uma medida de dispersão válida, mas as porcentagens intuitivas da “regra 68-95-99,7” não se aplicam de forma tão limpa.

Erros Comuns

• Usar sempre o desvio padrão populacional (ou sempre o amostral) por hábito. Qual é o correto depende inteiramente de os números inseridos serem o grupo inteiro ou apenas uma amostra dele — escolher o errado subestima ou superestima sistematicamente a dispersão real, não importa quão cuidadosamente o resto do cálculo seja feito.
• Tratar a média como “o valor típico” quando os dados são assimétricos. Um punhado de números incomumente grandes ou pequenos afasta a média de onde a maioria dos dados realmente está — a mediana costuma ser o “valor típico” mais honesto para dados assimétricos como renda ou preços de imóveis.
• Esquecer que a moda pode ser inexistente, única, ou múltipla. Presumir que todo conjunto de dados tem exatamente uma moda gera confusão quando uma lista não tem valores repetidos (sem moda) ou vários valores empatam como mais frequentes (multimodal) — ambos são resultados normais e esperados, não erros.

Útil Saber

• Precisa padronizar um único valor em relação a uma média e desvio padrão conhecidos em vez de calculá-los a partir de uma lista? Calculadora de Escore Z converte um único valor em um escore z e percentil.
• Está trabalhando com apenas dois números e quer a diferença percentual entre eles em vez de uma análise estatística descritiva completa? Calculadora de Erro Percentual e Calculadora de Porcentagem cobrem esse caso mais simples.
• Curioso para saber quão provável é um resultado específico, em vez de apenas descrever um conjunto de dados que você já tem? Calculadora de Probabilidade calcula as probabilidades de eventos únicos e combinados.