Линейная Интерполяция

Оценка Значения Между Двумя Известными Точками

Линейная интерполяция оценивает неизвестное значение между двумя известными точками данных, предполагая, что зависимость между ними линейна. Введите две известные точки (x, y) и значение x, для которого нужна оценка, и этот калькулятор найдёт соответствующее значение y.

Формула

$$\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

где $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ — ваши две известные точки, а $x$ — значение, для которого нужна оценка.

Решённый пример

Автомобиль находится на отметке 50 миль через 2 часа и на отметке 140 миль через 5 часов. Где он был через 3,5 часа?

1. $y = 50 + (3,5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1,5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ миль}}$

Ключевые факторы, которые следует учитывать

• Интерполяция между двумя точками обычно надёжнее, чем экстраполяция за их пределы. Целевое значение x, попадающее между двумя известными точками, остаётся в пределах диапазона, где зависимость действительно наблюдалась, тогда как значение за пределами этого диапазона предполагает, что та же линейная тенденция продолжается без изменений — а это предположение становится всё более рискованным, чем дальше вы выходите за известный диапазон.
• Этот метод точен только для действительно линейной зависимости, а в остальных случаях даёт лишь приближение. Физический процесс с постоянной скоростью, фиксированной ставкой или любой действительно прямолинейной зависимостью даёт точный ответ по этой формуле — но большинство реальных процессов (например, сложный рост или ускорение) на самом деле нелинейны, поэтому чем дальше друг от друга находятся ваши две известные точки, тем сильнее линейная оценка может отклониться от реальности где-то посередине.
• Справочные таблицы (например, таблицы поиска в инженерии, паровые таблицы или актуарные таблицы) обычно опираются на линейную интерполяцию между перечисленными значениями. Вместо того чтобы публиковать каждое возможное значение, таблица приводит удобный набор известных точек и предполагает, что читатель проведёт интерполяцию между ними — это одно из самых распространённых практических применений именно этой техники.
• Добавление третьей известной точки может показать, насколько разумно предположение о линейности. Если известная вам третья точка оказывается близко к линии, проведённой между двумя другими, линейная интерполяция в этом диапазоне, вероятно, надёжна — если же она сильно отклоняется от этой линии, зависимость, скорее всего, нелинейна, и к прямолинейной оценке стоит относиться с большей осторожностью.

Частые Ошибки

• Экстраполяция далеко за пределы известного диапазона с тем же уровнем доверия, что и к интерполяции. Целевое значение за пределами двух известных точек предполагает, что тенденция продолжается без изменений — это гораздо более рискованное предположение, чем оценка значения, которое действительно попадает между ними.
• Предположение о линейной зависимости без проверки того, действительно ли реальный процесс линеен. Такие процессы, как сложный рост или ускорение, изгибаются, а не следуют прямой линии, поэтому линейная оценка может оказаться заметно неверной, особенно вдали от известных точек.
• Путаница в том, какая известная точка какая. Перестановка x1/y1 и x2/y2 в формуле даёт другой (неверный) наклон — дважды проверьте, что значения x и y каждой известной точки введены вместе правильно.
• Использование двух известных точек, находящихся очень далеко друг от друга, когда зависимость нелинейна. Чем шире разрыв между двумя точками, тем больше пространства у кривой для отклонения от соединяющей их прямой линии — более близкие, более релевантные известные точки обычно дают более надёжную оценку.

Полезно Знать

• У вас есть несколько точек данных вместо всего двух, и вы хотите одну наилучшую прямую, проходящую через все них? Калькулятор Калькулятор Регрессии Методом Наименьших Квадратов справляется с этим более широким случаем.
• Нужен наклон между двумя точками вместо оценённого значения в третьей? Калькулятор Калькулятор Расстояния, Середины и Наклона покрывает это напрямую.