统计

如何求出平均值、中位数、众数与离散程度

此计算器可求出任意数字列表的平均值、中位数、众数、极差、方差和标准差。 将您的数字粘贴或输入到下方的框中——用逗号、空格或换行分隔，任意组合均可——所有常见的描述性统计量将一次性计算出来。

平均值是算术平均数。中位数是数字排序后的中间值（对于数量为偶数的列表，则是两个中间值的平均数）。众数是出现次数最多的值（或多个值）——如果每个数字都恰好只出现一次，则没有众数。

标准差衡量数字相对于平均值的离散程度——较小的标准差意味着数字聚集得较紧密；较大的标准差意味着它们分布得较广。此计算器以两种方式报告：总体标准差（当您的数字就是您关心的整个群体时）和样本标准差（当您的数字是用于估计更大总体的样本时）——样本版本稍大一些，以纠正样本倾向于低估整个总体真实离散程度的问题。

计算公式

$$\vC{\text{平均值}} = \frac{\sum \vA{\text{数字}}}{\vB{\text{个数}}}$$ $$\vD{\text{总体方差}} = \frac{\sum (\vA{\text{数字}} - \vC{\text{平均值}})^2}{\vB{\text{个数}}}$$ $$\vD{\text{样本方差}} = \frac{\sum (\vA{\text{数字}} - \vC{\text{平均值}})^2}{\vB{\text{个数}} - 1}$$ $$\text{标准差} = \sqrt{\vD{\text{方差}}}$$

总体或样本，与所使用的方差相匹配。

总体版本和样本版本之间的唯一区别是除以个数本身还是个数减一（称为贝塞尔校正）——其他一切都相同。

举例说明

数字 2、4、4、4、5、5、7、9：

1. 个数：$\vB{8}$。总和：$\vA{40}$。平均值：$\vA{40} \div \vB{8} = \vC{5}$。
2. 排序后：2、4、4、4、5、5、7、9——中位数是两个中间值（4 和 5）的平均值： $(4 + 5) \div 2 = 4.5$。
3. 众数：4（出现三次，多于任何其他值）。
4. 极差：$9 - 2 = 7$。
5. 总体标准差：2.0。样本标准差：≈2.14。

需要考虑的关键因素

• 当数据集存在异常值或存在偏态分布时，平均值和中位数可能会讲述截然不同的故事。 单个非常 大或非常小的数值会把平均值拉向自己，而中位数则始终锚定在排序数据的中间位置，不受极端值的 影响——这正是为什么例如家庭收入中位数通常会被单独报告（或与平均收入一起报告），因为少数极 高的收入会把平均值向上拉偏。
• 选择总体标准差还是样本标准差，完全取决于您的数字实际代表什么，而不是个人偏好。 如果输 入的数字就是您所关心的整个群体（例如某个具体班级的所有学生），使用总体标准差。如果它们是 用于估计更大群体的样本（例如对部分顾客的调查，用来代表所有顾客），使用样本标准差——选错会 系统性地低估或高估真实的离散程度。
• 数据集可以没有众数、只有一个众数，或有多个众数，这与始终只有单一值的平均值和中位数不 同。 如果列表中每个值都恰好只出现一次，那就完全没有众数——而如果两个或更多值并列出现次 数最多，数据集就可能真正呈现「双峰」或「多峰」分布，这本身往往是关于底层数据的一个有意义 的信号。
• 标准差在大致呈钟形（正态）分布的数据中最容易直观解读，此时大约 68% 的数值会落在平均值 一个标准差范围内。 对于严重偏态或形状差异很大的数据，标准差仍然是有效的离散程度度量，但 直观的「68-95-99.7 规则」百分比就不再那么整齐适用了。

常见错误

• 出于习惯总是使用总体标准差（或总是使用样本标准差）。 哪一个是正确的完全取决于输入的数字 是整个群体还是其中的一个样本——选错了会系统性地低估或高估真实的离散程度，无论其余计算做得多 么仔细。
• 当数据存在偏态时，把平均值当作「典型值」。 少数异常大或异常小的数字会把平均值拉离大多数 数据真正所在的位置——对于收入或房价这类偏态数据，中位数往往才是更诚实的「典型值」。
• 忘记众数可以不存在、只有一个，或有多个。 假设每个数据集恰好只有一个众数，会在列表中没有 重复值（没有众数）或多个值并列出现次数最多（多峰）时造成困惑——这两种情况都是正常的、预期 之内的结果，而不是错误。

实用信息

• 需要将单个数值与已知的平均值和标准差进行标准化，而不是从列表中计算它们吗？Z分数计算器 可将单个数值转换为 Z 分数和百分位数。
• 只处理两个数字，想知道它们之间的百分比差异，而不是完整的描述性统计分析吗？百分比误差计算器 和 百分比计算器 涵盖了这种更简单的情况。
• 好奇某个特定结果发生的可能性有多大，而不只是描述您已有的数据集吗？概率计算器 可计算单一事件和组合事件的概率。