Konfidensinterval

Sådan Beregnes Konfidensintervallet

Et konfidensinterval er et interval af værdier, bygget omkring en stikprøves eget gennemsnit, der sandsynligvis indeholder det sande populationsgennemsnit. Indtast en stikprøves gennemsnit, standardafvigelse og størrelse, vælg et konfidensniveau, og denne beregner finder det interval, inden for hvilket det faktiske populationsgennemsnit sandsynligvis falder.

Et “95% konfidensinterval” betyder for eksempel, at hvis du gentog den samme stikprøveproces mange gange, ville cirka 95% af de intervaller, den producerede, indeholde det sande populationsgennemsnit. Det betyder ikke, at der er 95% sandsynlighed for, at det sande gennemsnit falder inden for dette ene specifikke interval — en almindelig, teknisk ukorrekt måde folk formulerer det på. Et bredere interval (højere konfidensniveau) kaster et bredere net og er mere sandsynligt til at indeholde det sande gennemsnit; et smallere interval er mere præcist, men mindre sikkert.

Formlen

$$\vE{\text{Standardfejl}} = \frac{\vA{s}}{\sqrt{\vB{n}}}$$ $$\vF{\text{Fejlmargin}} = \vC{z} \times \vE{\text{Standardfejl}}$$ $$\text{Konfidensinterval} = \vD{\bar{x}} \pm \vF{\text{Fejlmargin}}$$

Hvor $\vA{s}$ er stikprøvens standardafvigelse, $\vB{n}$ er stikprøvestørrelsen, $\vC{z}$ er den kritiske værdi for det valgte konfidensniveau (opslået fra standardnormalfordelingen), og $\vD{\bar{x}}$ er stikprøvegennemsnittet. En større stikprøvestørrelse formindsker standardfejlen — og dermed hele intervallet — da mere data giver et mere præcist estimat af det sande gennemsnit.

Eksempel

En stikprøve på 25 elementer har et gennemsnit på 100 og en standardafvigelse på 15, ved et 95% konfidensniveau (en kritisk værdi på z = 1,96):

1. Standardfejl: $\vE{\text{Standardfejl}} = \vA{15} \div \sqrt{\vB{25}} = \vE{3}$.
2. Fejlmargin: $\vF{\text{Fejlmargin}} = \vC{1,96} \times \vE{3} = \vF{5,88}$.
3. Konfidensinterval: $\text{Konfidensinterval} = \vD{100} \pm \vF{5,88} = [94,12, 105,88]$.

Så det sande populationsgennemsnit ligger sandsynligvis (med 95% sikkerhed) et sted mellem 94,12 og 105,88.

Vigtige Faktorer at Overveje

• Et konfidensinterval siger intet om, hvordan stikprøven blev indsamlet. Matematikken her antager, at stikprøven er en genuint tilfældig, repræsentativ stikprøve af populationen — en forudindtaget eller ikke-tilfældig udvælgelsesmetode kan producere et konfidensinterval, der ser præcist ud, men som er centreret om en helt forkert værdi, et problem denne formel ikke kan opdage eller korrigere for.
• Intervallet antager, at de underliggende data i det mindste er tilnærmelsesvis normalfordelte, eller at stikprøven er stor nok til, at den centrale grænseværdisætning gælder. For en lille stikprøve fra en stærkt skæv fordeling bliver både z-fordelings- og t-fordelingstilnærmelserne mindre pålidelige.
• Et konfidensinterval og en fejlmargin rapporteret i en meningsmåling eller undersøgelse beskriver den samme underliggende idé. En nyhedsrapport, der citerer “en fejlmargin på plus eller minus 3 procentpoint” ved et angivet konfidensniveau (ofte 95%), beskriver præcis det interval, denne beregner beregner, blot formuleret anderledes.
• Smallere er ikke altid bedre, hvis det koster på sikkerheden. Et snævrere interval ved et lavere konfidensniveau (fx 80% i stedet for 95%) er mere præcist, men mindre sandsynligt til faktisk at indeholde den sande værdi — den rette afvejning mellem præcision og sikkerhed afhænger af, hvad estimatet skal bruges til.

Almindelige Fejl

• At læse “95% konfidens” som “95% sandsynlighed for, at det sande gennemsnit er i dette interval.” Når en stikprøve rent faktisk er indsamlet og intervallet beregnet, er det sande populationsgennemsnit enten inden i det eller ej — der er ingen sandsynlighed tilbage at tale om. De 95% beskriver metodens langsigtede adfærd på tværs af mange gentagne stikprøver, ikke dette ene specifikke resultat.
• At anvende denne z-baserede formel på en lille stikprøve uden at tjekke antagelserne. Z-fordelingen antager enten en stor stikprøve (konventionelt n på omkring 30 eller mere) eller en kendt populationsstandardafvigelse. En lille stikprøve med kun en estimeret standardafvigelse bør teknisk set bruge t-fordelingen i stedet, som giver et noget bredere — og mere ærligt — interval.
• At forveksle konfidensintervallet med rækkevidden af de rå data. Intervallet beskriver usikkerhed om populations-gennemsnittet, ikke hvor de individuelle datapunkter falder — et datasæt kan have værdier spredt langt bredere end dets konfidensinterval, mens intervallet om selve gennemsnittet forbliver smalt, især med en stor stikprøve.

Godt At Vide

Fordi standardfejlen krymper med kvadratroden af stikprøvestørrelsen frem for stikprøvestørrelsen selv, betyder det generelt at halvere fejlmarginen, at man skal firdoble stikprøvestørrelsen, ikke bare fordoble den — en detalje der betyder noget, når man planlægger, hvor stor en undersøgelse eller et eksperiment faktisk skal være. Det er også derfor, meningsmålinger med kun et par hundrede respondenter stadig kan rapportere en respektabelt smal fejlmargin: når en stikprøve når et par hundrede, betyder kvadratrods-sammenhængen, at hver ekstra respondent giver gradvist mindre præcision, så meningsmålingsinstitutter ser sjældent værdi i at skubbe stikprøvestørrelser op i titusindvis blot for at barbere en brøkdel af et point af fra marginen.