P-Wert

Einen Z-Score in eine Zufallswahrscheinlichkeit Umrechnen

Ein p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis zu beobachten, das mindestens so extrem ist wie das beobachtete, rein durch Zufall, wenn es tatsächlich keinen realen Effekt gäbe. Geben Sie einen Z-Score ein und wählen Sie eine Testart, und dieser Rechner wandelt ihn in einen p-Wert um — die Standardgröße, mit der entschieden wird, ob ein Ergebnis statistisch signifikant ist. Falls Sie Rohdaten statt eines bereits berechneten Z-Scores haben, ermitteln Sie ihn zuerst mit dem

Z-Wert-Rechner.

Ein kleinerer p-Wert bedeutet, dass das beobachtete Ergebnis weniger wahrscheinlich zufällig zustande gekommen wäre, was ein stärkerer Beweis gegen die Annahme ist, dass nichts Reales vor sich geht (die „Nullhypothese”). Nach langjähriger Konvention in den meisten Bereichen wird ein p-Wert unter 0,05 allgemein als statistisch signifikant behandelt — aber dieser Schwellenwert ist eine Konvention, kein Naturgesetz, und was als „signifikant genug” gilt, kann je nach Bereich und danach variieren, wie kostspielig eine falsche Schlussfolgerung wäre.

Die Formel

Für einen linksseitigen Test (ist das Ergebnis ungewöhnlich niedrig?):

$$p = \Phi(\vA{z})$$

Für einen rechtsseitigen Test (ist das Ergebnis ungewöhnlich hoch?):

$$p = 1 - \Phi(\vA{z})$$

Für einen zweiseitigen Test (ist das Ergebnis in eine der beiden Richtungen ungewöhnlich?):

$$p = 2 \times \left(1 - \Phi(|\vA{z}|)\right)$$

Wobei $\vA{z}$ der Z-Score ist und $\Phi$ die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung — die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus dieser Verteilung gezogener Wert bei oder unter einem gegebenen Punkt liegt, hier berechnet über eine etablierte Polynomnäherung der Fehlerfunktion.

Beispielrechnung

1. Ein Z-Score von 1,96 ist der Lehrbuch-Referenzpunkt für einen zweiseitigen Test beim konventionellen 95%-Konfidenzniveau: $p = 2 \times (1 - \Phi(1,96)) \approx 2 \times (1 - 0,975) \approx 0,0500$. 2. Ein p-Wert von etwa 0,05 liegt genau am konventionellen Signifikanzschwellenwert. 3. Ein größerer Z-Score von 2,576 (der zweiseitige Referenzpunkt für 99% Konfidenz) ergibt einen kleineren, signifikanteren p-Wert von etwa 0,0100.

Wichtige Einflussfaktoren

• Ein p-Wert sagt NICHT die Wahrscheinlichkeit aus, dass die Nullhypothese wahr ist. Dies ist eine der häufigsten Fehlinterpretationen in der Statistik — ein p-Wert von 0,03 bedeutet, dass es eine 3-prozentige Chance gibt, ein derart extremes (oder extremeres) Ergebnis zu sehen, WENN die Nullhypothese wahr WÄRE, nicht eine 3-prozentige Chance, dass die Nullhypothese tatsächlich korrekt ist.
• Ein einseitiger und ein zweiseitiger Test auf demselben z-Wert ergeben unterschiedliche p-Werte, und die falsche Wahl kann irreführen. Ein einseitiger Test prüft nur auf einen Effekt in eine bestimmte Richtung, während ein zweiseitiger Test auf einen Effekt in beide Richtungen prüft — die Wahl sollte anhand der tatsächlichen Forschungsfrage getroffen werden, BEVOR die Daten betrachtet werden, nicht nachträglich ausgewählt, um einen günstiger aussehenden p-Wert zu erzeugen.
• Statistische Signifikanz und praktische Relevanz sind zwei unterschiedliche Dinge. Bei einer ausreichend großen Stichprobe kann selbst ein winziger, praktisch bedeutungsloser Effekt einen sehr kleinen p-Wert erzeugen — ein statistisch signifikantes Ergebnis ist nicht automatisch ein wichtiger oder großer realer Effekt, und die Effektgröße sollte zusammen mit dem p-Wert betrachtet werden.
• Die konventionelle 0,05-Schwelle ist eine weit verbreitete Konvention, kein universelles wissenschaftliches Gesetz. Manche Fachgebiete (wie die Teilchenphysik) verlangen weit strengere Schwellen, bevor eine Entdeckung erklärt wird, während andere 0,05 als vernünftigen Standard behandeln — was als „ausreichend signifikant” gilt, hängt vom Fachgebiet und den Kosten eines Irrtums ab.

Häufige Fehler

• Die Testart erst nach dem Betrachten der Ergebnisse festlegen. Die Wahl zwischen einem einseitigen und einem zweiseitigen Test sollte sich aus der tatsächlichen Forschungsfrage ergeben und getroffen werden, bevor die Daten vorliegen — nachträglich zu dem Test zu wechseln, der einen kleineren p-Wert liefert, ist eine Form der Datenmanipulation, selbst wenn unbeabsichtigt.
• Einen p-Wert ohne jedes Maß für die Effektgröße angeben. Ein p-Wert sagt nur etwas darüber aus, wie unwahrscheinlich ein Ergebnis unter der Nullhypothese ist — er sagt nichts darüber aus, wie groß oder bedeutsam dieses Ergebnis tatsächlich ist, weshalb ein p-Wert normalerweise zusammen mit einem Konfidenzintervall oder einer Effektgröße angegeben wird, nicht allein.
• p = 0,049 und p = 0,051 als grundlegend unterschiedliche Ergebnisse behandeln. Der 0,05- Grenzwert ist eine Konvention, keine scharfe Linie in der Natur — zwei so nah beieinander liegende Ergebnisse sind in ihrer Beweiskraft praktisch identisch, auch wenn eines technisch gesehen den Schwellenwert unterschreitet und das andere nicht.
• Viele Tests durchführen und nur die als signifikant herausgekommenen berichten. Werden genug Vergleiche getestet, wird sich irgendwann rein zufällig ein „signifikantes” Ergebnis finden — die Bedeutung eines p-Werts setzt einen einzelnen, im Voraus geplanten Test voraus, nicht das beste Ergebnis, das aus vielen herausgepickt wurde.

Gut zu Wissen

• Starten Sie von Rohdaten einer Stichprobe statt von einem bereits bekannten Z-Score? Z-Wert-Rechner wandelt einen Rohwert gegenüber einem bekannten Mittelwert und einer Standardabweichung in den Z-Score um, den dieser Rechner benötigt.
• Möchten Sie einen Bereich plausibler Werte statt eines einzelnen Signifikanzurteils? Konfidenzintervall-Rechner drückt Unsicherheit als Intervall aus, ein üblicher Begleiter eines p-Werts statt eines Ersatzes dafür.
• Benötigen Sie zuerst zusammenfassende Statistiken — Mittelwert, Standardabweichung, Varianz — aus einer Rohliste von Zahlen? Statistikrechner berechnet diese direkt aus Ihren Daten.