Konfidenzintervall

So Wird das Konfidenzintervall Berechnet

Ein Konfidenzintervall ist ein Wertebereich, aufgebaut um den Mittelwert einer Stichprobe, der wahrscheinlich den wahren Populationsmittelwert enthält. Geben Sie den Mittelwert, die Standardabweichung und die Größe einer Stichprobe ein, wählen Sie ein Konfidenzniveau, und dieser Rechner ermittelt den Bereich, in dem der tatsächliche Populationsmittelwert wahrscheinlich liegt.

Ein „95%-Konfidenzintervall“ bedeutet zum Beispiel, dass, wenn Sie denselben Stichprobenprozess viele Male wiederholen würden, etwa 95 % der daraus resultierenden Intervalle den wahren Populationsmittelwert enthalten würden. Es bedeutet nicht, dass eine Wahrscheinlichkeit von 95 % besteht, dass der wahre Mittelwert innerhalb dieses einen konkreten Intervalls liegt — eine gängige, technisch falsche Formulierung. Ein breiteres Intervall (höheres Konfidenzniveau) wirft ein weiteres Netz aus und enthält wahrscheinlicher den wahren Mittelwert; ein engeres Intervall ist präziser, aber weniger sicher.

Die Formel

$$\vE{\text{Standardfehler}} = \frac{\vA{s}}{\sqrt{\vB{n}}}$$ $$\vF{\text{Fehlerspanne}} = \vC{z} \times \vE{\text{Standardfehler}}$$ $$\text{Konfidenzintervall} = \vD{\bar{x}} \pm \vF{\text{Fehlerspanne}}$$

Wobei $\vA{s}$ die Standardabweichung der Stichprobe ist, $\vB{n}$ die Stichprobengröße, $\vC{z}$ der kritische Wert für das gewählte Konfidenzniveau (aus der Standardnormalverteilung abgelesen), und $\vD{\bar{x}}$ der Stichprobenmittelwert. Eine größere Stichprobengröße verkleinert den Standardfehler — und damit das gesamte Intervall —, da mehr Daten eine präzisere Schätzung des wahren Mittelwerts ergeben.

Beispielrechnung

Eine Stichprobe von 25 Elementen hat einen Mittelwert von 100 und eine Standardabweichung von 15, bei einem Konfidenzniveau von 95 % (ein kritischer Wert von z = 1,96):

1. Standardfehler: $\vE{\text{Standardfehler}} = \vA{15} \div \sqrt{\vB{25}} = \vE{3}$.
2. Fehlerspanne: $\vF{\text{Fehlerspanne}} = \vC{1,96} \times \vE{3} = \vF{5,88}$.
3. Konfidenzintervall: $\text{Konfidenzintervall} = \vD{100} \pm \vF{5,88} = [94,12, 105,88]$.

Der wahre Populationsmittelwert liegt also wahrscheinlich (mit 95 % Konfidenz) irgendwo zwischen 94,12 und 105,88.

Wichtige Einflussfaktoren

• Ein Konfidenzintervall sagt nichts darüber aus, wie die Stichprobe erhoben wurde. Die Mathematik hier setzt voraus, dass die Stichprobe eine wirklich zufällige, repräsentative Stichprobe der Grundgesamtheit ist — eine verzerrte oder nicht-zufällige Stichprobenmethode kann ein Konfidenzintervall erzeugen, das präzise aussieht, aber vollständig um den falschen Wert zentriert ist, ein Problem, das diese Formel weder erkennen noch korrigieren kann.
• Das Intervall setzt voraus, dass die zugrunde liegenden Daten zumindest annähernd normalverteilt sind, oder dass die Stichprobe groß genug ist, damit der zentrale Grenzwertsatz greift. Bei einer kleinen Stichprobe aus einer stark schiefen Verteilung werden sowohl die z-Verteilungs- als auch die t-Verteilungs-Näherung weniger zuverlässig.
• Ein in einer Umfrage genanntes Konfidenzintervall und eine Fehlermarge beschreiben dieselbe zugrunde liegende Idee. Eine Nachrichtenmeldung, die eine „Fehlermarge von plus/minus 3 Prozentpunkten” bei einem angegebenen Konfidenzniveau (oft 95 %) zitiert, beschreibt genau das Intervall, das dieser Rechner berechnet, nur anders formuliert.
• Enger ist nicht immer besser, wenn es auf Kosten der Konfidenz geht. Ein engeres Intervall bei einem niedrigeren Konfidenzniveau (etwa 80 % statt 95 %) ist präziser, enthält aber mit geringerer Wahrscheinlichkeit den wahren Wert — der richtige Kompromiss zwischen Präzision und Konfidenz hängt davon ab, wofür die Schätzung verwendet wird.

Häufige Fehler

• „95 % Konfidenz” als „95 % Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Mittelwert in diesem Intervall liegt” lesen. Sobald eine Stichprobe tatsächlich erhoben und das Intervall berechnet wurde, liegt der wahre Populationsmittelwert entweder darin oder nicht — es gibt keine Wahrscheinlichkeit mehr, über die man sprechen könnte. Die 95 % beschreiben das langfristige Verhalten der METHODE über viele wiederholte Stichproben hinweg, nicht dieses eine konkrete Ergebnis.
• Diese z-basierte Formel auf eine kleine Stichprobe anwenden, ohne die Annahmen zu prüfen. Die Z-Verteilung setzt entweder eine große Stichprobe voraus (üblicherweise n von etwa 30 oder mehr) oder eine bekannte Standardabweichung der Grundgesamtheit. Eine kleine Stichprobe mit nur einer geschätzten Standardabweichung sollte technisch gesehen stattdessen die t-Verteilung verwenden, die ein etwas breiteres — und ehrlicheres — Intervall ergibt.
• Das Konfidenzintervall mit der Spannweite der Rohdaten verwechseln. Das Intervall beschreibt die Unsicherheit über den Mittelwert der Grundgesamtheit, nicht wo die einzelnen Datenpunkte liegen — ein Datensatz kann Werte haben, die weit breiter gestreut sind als sein Konfidenzintervall, während das Intervall um den Mittelwert selbst schmal bleibt, besonders bei einer großen Stichprobe.

Gut zu Wissen

Da der Standardfehler mit der Quadratwurzel der Stichprobengröße schrumpft und nicht mit der Stichprobengröße selbst, bedeutet eine Halbierung der Fehlerspanne im Allgemeinen eine Vervierfachung der Stichprobengröße, nicht nur eine Verdopplung — ein Detail, das bei der Planung wichtig ist, wie groß eine Umfrage oder ein Experiment tatsächlich sein muss. Das ist auch der Grund, warum Umfragen mit nur ein paar hundert Befragten immer noch eine respektabel enge Fehlerspanne melden können: Sobald eine Stichprobe ein paar hundert erreicht, bedeutet die Quadratwurzel-Beziehung, dass jeder zusätzliche Befragte zunehmend weniger Präzision bringt, sodass Meinungsforscher selten einen Wert darin sehen, Stichprobengrößen auf Zehntausende zu treiben, nur um einen Bruchteil eines Prozentpunkts von der Spanne abzuschneiden.