Z-Wert

Einen Wert Gegen den Mittelwert Einer Verteilung Standardisieren

Ein Z-Score misst, wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert einer Verteilung liegt. Geben Sie einen Wert, den Mittelwert der Verteilung, und deren Standardabweichung ein, um den Z-Score und das entsprechende Perzentil zu finden — welcher Anteil einer Normalverteilung bei oder unter diesem Wert liegt.

Ein Z-Score von 0 bedeutet, dass der Wert genau dem Mittelwert entspricht. Positive Z-Scores liegen über dem Mittelwert; negative Z-Scores liegen darunter. Da etwa 68% einer Normalverteilung innerhalb 1 Standardabweichung des Mittelwerts liegen, 95% innerhalb von 2, und 99,7% innerhalb von 3, gibt ein Z-Score allein ein sofortiges Gefühl dafür, wie ungewöhnlich ein Wert ist.

Die Formel

$$\text{Z-Score} = \frac{\vA{\text{Wert}} - \vB{\text{Mittelwert}}}{\vC{\text{Standardabweichung}}}$$

Das Perzentil stammt aus der kumulativen Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung — der Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus dieser Verteilung gezogener Wert bei oder unter dem eingegebenen Z-Score liegt, hier berechnet über eine etablierte Polynomnäherung der Fehlerfunktion.

Beispielrechnung

Ein IQ-Wert von 115, wobei IQ-Werte einen Mittelwert von 100 und eine Standardabweichung von 15 haben:

1. Z-Score: $\vA{115} - \vB{100} = 15$, dann $15 \div \vC{15} = 1,0$.
2. Perzentil: ein Z-Score von genau 1 entspricht dem 84,13. Perzentil — dieser Wert ist höher als etwa 84% der Verteilung.

Wichtige Einflussfaktoren

• Diese Berechnung setzt voraus, dass die zugrunde liegende Verteilung echt normal (glockenförmig) ist, was nicht für jeden echten Datensatz zutrifft. Viele reale Messungen (wie Körpergröße oder IQ-Werte) nähern sich einer Normalverteilung eng genug an, damit dies gut funktioniert, aber eine stark schiefe Verteilung oder eine mit mehreren Gipfeln hat kein von der Standardnormalkurve, auf die sich dieser Rechner stützt, korrekt beschriebenes Perzentil.
• Ein z-Wert standardisiert Werte aus verschiedenen Verteilungen auf dieselbe vergleichbare Skala. Genau das macht z-Werte nützlich, um die relative Position eines Werts über zwei verschiedene Messungen mit unterschiedlichen Mittelwerten und Standardabweichungen zu vergleichen — wie den Vergleich eines Testergebnisses in einer Prüfung mit einer anderen Prüfung mit anderer Bewertungsskala.
• Dieser Rechner berechnet ein EINSEITIGES Perzentil (der Anteil der Verteilung bei oder unter einem Wert), was sich von einer zweiseitigen (beide Enden) Wahrscheinlichkeit unterscheidet. Je nach gestellter Frage — „welcher Anteil hat niedriger abgeschnitten als ich” gegenüber „wie ungewöhnlich ist dieser Wert in beide Richtungen” — kann die relevante Zahl unterschiedlich sein, und es lohnt sich klarzustellen, welche ein konkreter Anwendungsfall tatsächlich benötigt.
• Der Z-Score-Rechner und der Statistik-Rechner beantworten verwandte, aber echt unterschiedliche Fragen. Der Statistik-Rechner berechnet den EIGENEN Mittelwert und die Standardabweichung eines Datensatzes aus rohen Zahlen, während dieser Rechner EINEN Wert gegen den Mittelwert und die Standardabweichung einer BEREITS BEKANNTEN Verteilung bewertet — die beiden werden oft zusammen verwendet, indem zuerst die Parameter einer Verteilung berechnet und dann einzelne Werte dagegen bewertet werden.

Häufige Fehler

• Eine Stichprobenstatistik so behandeln, als wäre sie der tatsächliche Mittelwert/die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Ein aus einer kleinen Stichprobe geschätzter Mittelwert und Standardabweichung tragen ihre eigene Unsicherheit — sie als exakte Populations- parameter zu behandeln, kann ein Perzentil präziser erscheinen lassen, als es tatsächlich ist.
• Annehmen, dass die zugrunde liegenden Daten normalverteilt sind, ohne dies zu prüfen. Die Perzentil-Umrechnung gilt nur für echt glockenförmige Daten — bei einer schiefen oder mehrgipfligen Verteilung bleibt der berechnete Z-Score zwar gültig, aber der daraus resultierende Perzentilwert kann ernsthaft irreführend sein.
• Ein einseitiges Perzentil mit einer zweiseitigen (beide Enden) Wahrscheinlichkeit verwechseln. „Welcher Anteil hat schlechter abgeschnitten als ich“ und „wie ungewöhnlich ist dieser Wert in beide Richtungen“ sind unterschiedliche Fragen mit unterschiedlichen Antworten — die falsche für die vorliegende Situation zu verwenden, führt zu einer Fehlinterpretation des Ergebnisses.

Gut Zu Wissen

• Benötigen Sie überhaupt erst den Mittelwert und die Standardabweichung, um sie hier einzugeben? Statistikrechner berechnet beide direkt aus einer rohen Zahlenliste.
• Möchten Sie ausdrücken, wie zuverlässig eine Schätzung ist, statt einen einzelnen Wert zu bewerten? Konfidenzintervall-Rechner erstellt einen Bereich um eine Stichprobenstatistik statt eines einzelnen standardisierten Werts.