Stichprobengrößen

Die Mindeststichprobengröße für eine Umfrage Finden

Die Stichprobengrößenbestimmung ermittelt, wie viele Teilnehmer oder Beobachtungen eine Umfrage benötigt, um eine Populationsproportion innerhalb einer gewählten Fehlerspanne bei einem gewählten Konfidenzniveau zu schätzen. Wählen Sie ein Konfidenzniveau, eine gewünschte Fehlerspanne, und (falls vorhanden) eine geschätzte Proportion, und dieser Rechner findet die minimale Stichprobengröße, bevor Sie auch nur eine einzige Antwort sammeln.

Dies ist die Frage, die vor der eigenen Frage des Konfidenzintervall-Rechners kommt — jener Rechner sagt Ihnen, wie breit ein Intervall Ihre Daten bereits erzeugt haben; dieser sagt Ihnen, wie viele Daten Sie überhaupt sammeln sollten, damit das resultierende Intervall nicht breiter ist, als Sie zu akzeptieren bereit sind.

Falls Sie eine bekannte Populationsgröße haben (die Gesamtzahl der Personen oder Elemente, die Sie möglicherweise befragen könnten), wendet deren Eingabe die Endlichkeitskorrektur an, die die erforderliche Stichprobe erheblich verkleinern kann, wenn die Population selbst klein ist. Lassen Sie sie leer, um eine große oder unbekannte Population anzunehmen, was der sicherere, häufigere Fall ist.

Die Formel

$$n_0 = \frac{\vA{z}^2 \times \vB{p}(1-\vB{p})}{\vC{e}^2}$$

Wobei $\vA{z}$ der kritische Wert für das gewählte Konfidenzniveau ist, $\vB{p}$ die geschätzte Proportion (als Dezimalzahl), und $\vC{e}$ die gewünschte Fehlerspanne (als Dezimalzahl). Das Ergebnis wird aufgerundet, da eine Stichprobe keinen Bruchteil eines Teilnehmers enthalten kann.

Wenn eine Populationsgröße $\vD{N}$ bekannt ist, wird die Endlichkeitskorrektur angewendet:

$$n = \frac{n_0}{1 + \frac{n_0 - 1}{\vD{N}}}$$

$\vB{p} = 0,5$ (50%) ist die konservativste Wahl, wenn die wahre Proportion unbekannt ist — $p(1-p)$ ist bei genau 50% am größten, was die erforderliche Stichprobengröße maximiert (und daher nie unterschätzt).

Beispielrechnung

Bei einem 95%-Konfidenzniveau (z = 1,96), einer gewünschten Fehlerspanne von ±5%, und einer geschätzten Proportion von 50% (der konservative Standardwert):

1. z quadrieren und mit p(1-p) multiplizieren: $\vA{1,96}^2 \times \vB{0,5} \times (1 - \vB{0,5}) \approx 0,9604$. 2. Durch e-Quadrat teilen: $0,9604 \div \vC{0,05}^2 = 384,16$. 3. Aufrunden, da eine Stichprobe keinen Bruchteil eines Teilnehmers enthalten kann: $384,16 \rightarrow 385$.

Sie würden 385 Teilnehmer aus einer großen oder unbekannten Population benötigen. Falls die wahre Population stattdessen nur 1.000 Personen umfasst, verkleinert die Endlichkeitskorrektur das auf:

1. 1 von n0 abziehen und durch die Population teilen: $(384,16 - 1) \div \vD{1{.}000} \approx 0,38316$.
2. 1 addieren: $1 + 0,38316 = 1,38316$.
3. n0 durch dieses Ergebnis teilen: $384,16 \div 1,38316 \approx 277,74 \rightarrow 278$.

Nur 278 Teilnehmer werden benötigt, sobald bekannt ist, dass die Population selbst so klein ist.

Wichtige Einflussfaktoren

• Eine kleinere gewünschte Fehlermarge erfordert eine unverhältnismäßig größere Stichprobengröße, keine proportional größere. Da die Fehlermarge quadriert im Nenner der Formel erscheint, VERVIERFACHT eine Halbierung der Fehlermarge ungefähr die benötigte Stichprobengröße — genau deshalb verlangen sehr enge Fehlermargen (wie ±1 %) dramatisch mehr Befragte als eine typischere ±5 %.
• Ein höheres Konfidenzniveau erhöht ebenfalls die benötigte Stichprobe, wenn auch weniger dramatisch als die Verengung der Fehlermarge. Der Wechsel von 90 % auf 95 % auf 99 % Konfidenz erhöht den in der Formel verwendeten kritischen z-Wert, was die benötigte Stichprobengröße anhebt — der genaue Zielkonflikt zwischen Konfidenzniveau und Stichprobengröße ist eine echte Planungsentscheidung, keine feste Regel.
• Diese Formel schätzt die Stichprobengröße für einen einzelnen Anteilswert (wie „welcher Prozentsatz der Menschen bevorzugt X”), nicht jede Art von statistischer Frage. Die Schätzung eines numerischen Durchschnitts (wie durchschnittliche Ausgaben) oder das Erkennen eines Unterschieds zwischen zwei Gruppen verwenden beide verwandte, aber eigenständige Stichprobengrößenformeln — dieser Rechner ist speziell auf den Anteilsschätzungsfall ausgelegt, das häufigste Umfrageszenario.
• Die Korrektur für endliche Grundgesamtheit verringert die benötigte Stichprobe nur bedeutsam, wenn die Grundgesamtheit selbst relativ klein ist. Bei einer großen Grundgesamtheit (in den Zehntausenden oder mehr) hat die Korrektur einen vernachlässigbaren Effekt auf die benötigte Stichprobengröße — deshalb behandelt die Umfragemethodik „große Grundgesamtheit” und „unbekannte Grundgesamtheit” üblicherweise als funktional denselben Fall, beide standardmäßig auf die unkorrigierte Formel zurückgreifend.

Häufige Fehler

• Die Populationsgröße als die Anzahl der Personen eingeben, die Sie kontaktieren wollen, nicht die Gesamtpopulation, aus der Sie schöpfen. Die Endlichkeitskorrektur gilt nur für die GESAMTE Gruppe, die Sie überhaupt befragen könnten (z. B. alle 1.000 Mitarbeiter eines Unternehmens) — die Anzahl der erhofften Antworten einzugeben, untergräbt den Zweck der Berechnung.
• Annehmen, dass eine kleinere Fehlermarge nur eine etwas größere Stichprobe benötigt. Da die Fehlermarge in der Formel quadriert wird, vervierfacht eine Halbierung ungefähr die benötigte Stichprobe — eine enge Marge zu planen, ohne die Stichprobenkosten einzukalkulieren, ist eine häufige Überraschung.
• Diesen Rechner mit dem Konfidenzintervall-Rechner verwechseln. Dieser beantwortet „wie viele Teilnehmer brauche ich, bevor ich Daten sammle”; der andere beantwortet „wie präzise waren die Daten, die ich bereits gesammelt habe” — sie laufen in entgegengesetzte Richtungen und sind nicht austauschbar.

Gut zu Wissen

• Haben Sie bereits Ihre Umfrageantworten gesammelt und möchten wissen, wie präzise Ihre Ergebnisse tatsächlich sind? Konfidenzintervall-Rechner berechnet die resultierende Fehlermarge aus echten Daten.
• Müssen Sie weitere zusammenfassende Statistiken aus Ihren gesammelten Antworten berechnen, wie den Mittelwert oder die Standardabweichung? Statistikrechner deckt das direkt ab.
• Neugierig, wie die Stichprobengröße mit den Chancen eines bestimmten Ergebnisses zusammenhängt? Wahrscheinlichkeitsrechner deckt Einzel- und kombinierte Ereigniswahrscheinlichkeiten allgemeiner ab.