Wahrscheinlichkeit

Wie Sich die Chance für ein Ereignis Berechnet, Allein oder Kombiniert

Wahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, als Zahl zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher). Geben Sie eine Anzahl günstiger und gesamter Ergebnisse ein, um die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses und sein Komplement zu finden, oder geben Sie die Wahrscheinlichkeiten zweier unabhängiger Ereignisse ein, um die Chance zu finden, dass beide eintreten, eines von beiden eintritt, oder keines von beiden eintritt.

Die Formel

Einzelnes Ereignis:

$$\vC{\text{Wahrscheinlichkeit}} = \frac{\text{Günstige Ergebnisse}}{\text{Ergebnisse Insgesamt}}$$

Das Komplement (die Chance, dass das Ereignis NICHT eintritt) ist immer $1 - \vC{\text{Wahrscheinlichkeit}}$.

Zwei unabhängige Ereignisse (bei denen das Eintreten eines Ereignisses die Chance des anderen nicht ändert):

• $P(\text{beide treten ein}) = P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$
• $P(\text{eines von beiden tritt ein}) = P(\vA{A}) + P(\vB{B}) - P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$ — einfaches Addieren der beiden würde die Überlappung, bei der beide eintreten, doppelt zählen, daher wird sie einmal wieder abgezogen (das Inklusions-Exklusions-Prinzip).
• $P(\text{keines von beiden tritt ein}) = (1 - P(\vA{A})) \times (1 - P(\vB{B}))$

Beispielrechnung

Einzelnes Ereignis: eine gerade Zahl auf einem Standard-6-seitigen Würfel würfeln.

1. Günstige Ergebnisse: 3 (2, 4, 6) von 6 insgesamt: $3 \div 6 = \vC{50\%}$.
2. Komplement: $1 - \vC{50\%} = 50\%$ (eine ungerade Zahl würfeln).

Zwei unabhängige Ereignisse: eine Münze werfen und Kopf erhalten (P = 50%) UND einen Würfel werfen und eine 6 erhalten (P ≈ 16,67%):

1. P(beide) = 0,5 × 0,1667 ≈ 8,33%
2. P(eines von beiden) = 0,5 + 0,1667 − 0,0833 ≈ 58,33%
3. P(keines von beiden) = 0,5 × 0,8333 ≈ 41,67%

Wichtige Einflussfaktoren

• Die Formeln für unabhängige Ereignisse hier gelten nur, wenn das Ergebnis eines Ereignisses das andere wirklich nicht beeinflusst. Ein Münzwurf und ein Würfelwurf sind klassische unabhängige Ereignisse — aber das Ziehen zweier Karten aus einem Stapel OHNE Zurücklegen ist NICHT unabhängig, da das Entfernen der ersten Karte die Chancen für die zweite verändert. Die Anwendung dieser Formeln auf abhängige Ereignisse ergibt ein falsches Ergebnis.
• Eine Wahrscheinlichkeit von 0 bedeutet unmöglich und 1 bedeutet sicher — jede reale Wahrscheinlichkeit liegt irgendwo zwischen diesen beiden Extremen. Diese 0-bis-1-Skala (oder entsprechend 0 % bis 100 %) ist die universelle Konvention in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, weshalb die Ergebnisse dieses Rechners immer in diesem Bereich liegen.
• Der „Spielerfehlschluss” ist ein häufiges Missverständnis, dem die Mathematik dieses Rechners direkt widerspricht. Der Glaube, eine faire Münze sei nach mehreren Kopf-Ergebnissen in Folge „fällig” für Zahl, missversteht Unabhängigkeit — jeder Wurf hat exakt dieselbe 50-prozentige Wahrscheinlichkeit, unabhängig davon, was zuvor geschah, da frühere Würfe keinen echten Einfluss auf das nächste Ergebnis einer fairen Münze haben.
• Die klassische Wahrscheinlichkeit (günstige Ergebnisse geteilt durch Gesamtergebnisse) setzt voraus, dass jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist. Diese Annahme gilt für einen fairen Würfel oder eine faire Münze, aber nicht für jedes reale Szenario — ein gezinkter Würfel oder eine unfaire Münze bräuchten tatsächlich beobachtete Häufigkeiten statt dieser einfachen Zählmethode, um ihre wahren Wahrscheinlichkeiten zu schätzen.

Häufige Fehler

• Die Formeln für unabhängige Ereignisse auf Ereignisse anwenden, die eigentlich nicht unabhängig sind. Das Ziehen zweier Karten aus einem Stapel ohne Zurücklegen der ersten ist ein klassisches Beispiel — das Entfernen der ersten Karte verändert die Chancen für die zweite, sodass eine Behandlung als unabhängig die tatsächliche kombinierte Wahrscheinlichkeit über- oder unterschätzt.
• Einfach P(A) und P(B) addieren, um die Chance zu finden, dass eines von beiden eintritt. Das zählt den Fall, in dem beide eintreten, doppelt — die Überlappung muss einmal wieder abgezogen werden, genau das tut die obige Inklusions-Exklusions-Formel.
• Glauben, eine faire Münze oder ein fairer Würfel sei nach einer Serie „fällig” für ein bestimmtes Ergebnis. Jeder unabhängige Wurf hat jedes Mal exakt dieselbe Wahrscheinlichkeit, unabhängig davon, was bei vorherigen Würfen geschah — dieses Missverständnis (der „Spielerfehlschluss”) widerspricht direkt der Unabhängigkeitsannahme, auf der diese Formeln beruhen.

Gut zu Wissen

• Arbeiten Sie mit einem vollständigen Datensatz von Zahlen statt mit einer einzelnen Wahrscheinlichkeit? Statistikrechner berechnet Mittelwert, Median, Modus und Standardabweichung.
• Müssen Sie Anordnungen oder Auswahlen statt einer Wahrscheinlichkeit zählen? Permutations- und Kombinationsrechner berechnet Permutationen und Kombinationen.
• Möchten Sie echte Würfel werfen, statt nur die Chancen zu berechnen? Würfelrechner würfelt eine beliebige Anzahl Würfel mit einer beliebigen Seitenzahl.