Luottamusvälilaskuri

Miten Luottamusväli Lasketaan

Luottamusväli on arvojen alue, rakennettu otoksen oman keskiarvon ympärille, joka todennäköisesti sisältää väestön todellisen keskiarvon. Syötä otoksen keskiarvo, keskihajonta ja koko, valitse luottamustaso, niin tämä laskuri löytää alueen, jolla todellinen väestön keskiarvo todennäköisesti sijaitsee.

“95 %:n luottamusväli” esimerkiksi tarkoittaa, että jos toistaisit saman otantaprosessin monta kertaa, noin 95 % sen tuottamista väleistä sisältäisi väestön todellisen keskiarvon. Se ei tarkoita, että olisi 95 %:n todennäköisyys, että todellinen keskiarvo osuu tälle yhdelle tietylle välille — yleinen, teknisesti virheellinen tapa, jolla ihmiset ilmaisevat sen. Leveämpi väli (korkeampi luottamustaso) heittää laajemman verkon ja on todennäköisemmin sisältää todellisen keskiarvon; kapeampi väli on tarkempi mutta vähemmän varma.

Kaava

$$\vE{\text{Keskivirhe}} = \frac{\vA{s}}{\sqrt{\vB{n}}}$$ $$\vF{\text{Virhemarginaali}} = \vC{z} \times \vE{\text{Keskivirhe}}$$ $$\text{Luottamusväli} = \vD{\bar{x}} \pm \vF{\text{Virhemarginaali}}$$

Jossa $\vA{s}$ on otoksen keskihajonta, $\vB{n}$ on otoskoko, $\vC{z}$ on valitun luottamustason kriittinen arvo (haettu standardoidusta normaalijakaumasta), ja $\vD{\bar{x}}$ on otoksen keskiarvo. Suurempi otoskoko kaventaa keskivirhettä — ja siten koko väliä — koska enemmän dataa antaa tarkemman arvion todellisesta keskiarvosta.

Laskuesimerkki

25 kohteen otoksella on keskiarvo 100 ja keskihajonta 15, 95 %:n luottamustasolla (kriittinen arvo z = 1,96):

1. Keskivirhe: $\vE{\text{Keskivirhe}} = \vA{15} \div \sqrt{\vB{25}} = \vE{3}$.
2. Virhemarginaali: $\vF{\text{Virhemarginaali}} = \vC{1.96} \times \vE{3} = \vF{5.88}$.
3. Luottamusväli: $\text{Luottamusväli} = \vD{100} \pm \vF{5.88} = [94.12, 105.88]$.

Joten väestön todellinen keskiarvo on todennäköisesti (95 %:n luottamuksella) jossain 94,12 ja 105,88 välillä.

Keskeiset Huomioitavat Tekijät

• Luottamusväli ei kerro mitään siitä, miten otos kerättiin. Tämä matematiikka olettaa, että otos on aidosti satunnainen, edustava otos väestöstä — vino tai epäsatunnainen otantamenetelmä voi tuottaa luottamusvälin, joka näyttää tarkalta mutta on keskittynyt täysin väärän arvon ympärille, ongelma, jota tämä kaava ei voi havaita tai korjata.
• Väli olettaa, että taustalla oleva data on ainakin suunnilleen normaalijakautunutta, tai että otos on tarpeeksi suuri, jotta keskeisen raja-arvon lause pätee. Pienelle otokselle voimakkaasti vinosta jakaumasta sekä z-jakauman että t-jakauman likiarvot muuttuvat epäluotettavammiksi.
• Kyselytutkimuksessa raportoitu luottamusväli ja virhemarginaali kuvaavat samaa taustalla olevaa ajatusta. Uutinen, jossa mainitaan “virhemarginaali plus tai miinus 3 prosenttiyksikköä” tietyllä luottamustasolla (usein 95 %), kuvaa juuri sitä väliä, jonka tämä laskuri laskee, vain eri tavalla ilmaistuna.
• Kapeampi ei ole aina parempi, jos se tulee luottamuksen kustannuksella. Tiukempi väli matalammalla luottamustasolla (sanotaan 80 % 95 %:n sijaan) on tarkempi mutta epätodennäköisemmin sisältää todellisen arvon — oikea tasapaino tarkkuuden ja luottamuksen välillä riippuu siitä, mihin arviota käytetään.

Yleisiä Virheitä

• “95 % luottamuksen” tulkitseminen “95 % todennäköisyydeksi, että todellinen keskiarvo on tällä välillä.” Kun otos on jo kerätty ja väli laskettu, todellinen väestön keskiarvo joko on sen sisällä tai ei ole — enää ei ole todennäköisyyttä, josta puhua. 95 % kuvaa MENETELMÄN pitkän aikavälin käyttäytymistä monien toistettujen otosten yli, ei tätä yhtä tiettyä tulosta.
• Tämän z-jakaumaan perustuvan kaavan soveltaminen pieneen otokseen tarkistamatta oletuksia. Z-jakauma olettaa joko suuren otoksen (tavanomaisesti n noin 30 tai enemmän) tai tunnetun väestön keskihajonnan. Pienen otoksen, jolla on vain arvioitu keskihajonta, pitäisi teknisesti käyttää sen sijaan t-jakaumaa, joka tuottaa hieman leveämmän — ja rehellisemmän — välin.
• Luottamusvälin sekoittaminen raakadatan vaihteluväliin. Väli kuvaa epävarmuutta väestön keskiarvosta, ei sitä, mihin yksittäiset datapisteet osuvat — aineistolla voi olla arvoja paljon laajemmalla vaihteluvälillä kuin sen luottamusväli, kun taas itse keskiarvon väli pysyy kapeana, etenkin suuressa otoksessa.

Hyvä Tietää

Koska keskivirhe pienenee otoskoon neliöjuuren, ei itse otoskoon, mukaan, virhemarginaalin puolittaminen tarkoittaa yleensä otoskoon nelinkertaistamista, ei pelkkää kaksinkertaistamista — yksityiskohta, joka on tärkeä suunniteltaessa, kuinka suuri kysely tai koe todella tarvitaan. Tämä selittää myös, miksi kyselyt, joissa on vain muutama sata vastaajaa, voivat silti raportoida kunnioitettavan tiukan virhemarginaalin: kun otos saavuttaa muutaman sadan, neliöjuurisuhde tarkoittaa, että jokainen lisävastaaja tuo asteittain vähemmän tarkkuutta, joten mielipidetutkijat harvoin näkevät arvoa otoskokojen kasvattamisessa kymmeniin tuhansiin vain murto-osan prosenttiyksikön karsimiseksi marginaalista.