Tilastolaskuri

Miten Löydät Keskiarvon, Mediaanin, Moodin ja Hajonnan

Tämä laskuri löytää minkä tahansa lukulistan keskiarvon, mediaanin, moodin, vaihteluvälin, varianssin ja keskihajonnan. Liitä tai kirjoita numerosi alla olevaan laatikkoon — eroteltuna pilkuilla, välilyönneillä tai rivinvaihdoilla, missä tahansa yhdistelmässä — ja jokainen yleinen kuvaileva tilastoluku lasketaan kerralla.

Keskiarvo on aritmeettinen keskiarvo. Mediaani on keskimmäinen arvo, kun luvut lajitellaan (tai kahden keskimmäisen arvon keskiarvo, parillisen kokoiselle listalle). Moodi on se arvo (tai arvot), joka esiintyy useimmin — jos jokainen luku esiintyy tarkalleen kerran, moodia ei ole.

Keskihajonta mittaa, kuinka hajallaan luvut ovat keskiarvosta — pieni keskihajonta tarkoittaa, että luvut ovat lähellä toisiaan; suuri tarkoittaa, että ne ovat laajasti hajallaan. Tämä laskuri ilmoittaa sen kahdella tavalla: populaation keskihajonta (kun lukusi ovat koko ryhmä, josta olet kiinnostunut) ja otoksen keskihajonta (kun lukusi ovat otos, jota käytetään suuremman populaation arvioimiseen) — otosversio on hieman suurempi, korjaten sen tosiasian, että otos pyrkii aliarvioimaan koko populaation todellisen hajonnan.

Kaava

$$\vC{\text{Keskiarvo}} = \frac{\sum \vA{\text{Numerot}}}{\vB{\text{Määrä}}}$$ $$\vD{\text{Populaation Varianssi}} = \frac{\sum (\vA{\text{Numero}} - \vC{\text{Keskiarvo}})^2}{\vB{\text{Määrä}}}$$ $$\vD{\text{Otoksen Varianssi}} = \frac{\sum (\vA{\text{Numero}} - \vC{\text{Keskiarvo}})^2}{\vB{\text{Määrä}} - 1}$$ $$\text{Keskihajonta} = \sqrt{\vD{\text{Varianssi}}}$$

Populaatio tai otos, vastaten sitä, kumpaa varianssia käytetään.

Ainoa ero populaatio- ja otosversioiden välillä on jakaminen määrällä itsellään versus määrä miinus yksi (tunnetaan Besselin korjauksena) — kaikki muu on identtistä.

Laskuesimerkki

Luvut 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9:

1. Määrä: $\vB{8}$. Summa: $\vA{40}$. Keskiarvo: $\vA{40} \div \vB{8} = \vC{5}$.
2. Lajiteltuna: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — mediaani on kahden keskimmäisen arvon (4 ja 5) keskiarvo: $(4 + 5) \div 2 = 4.5$.
3. Moodi: 4 (esiintyy kolme kertaa, enemmän kuin mikään muu arvo).
4. Vaihteluväli: $9 - 2 = 7$.
5. Populaation keskihajonta: 2,0. Otoksen keskihajonta: ≈2,14.

Keskeiset Huomioitavat Tekijät

• Keskiarvo ja mediaani voivat kertoa hyvin erilaisia tarinoita, kun datajoukossa on poikkeavia arvoja tai se on vino. Yksi hyvin suuri tai pieni arvo vetää keskiarvoa puoleensa, kun taas mediaani pysyy ankkuroituna lajitellun datan keskikohtaan äärimmäisistä arvoista riippumatta — juuri tästä syystä esimerkiksi mediaanikotitalouden tuloa raportoidaan yleisesti (tai sen rinnalla) keskiarvotulon sijaan, koska muutama hyvin korkea tulo muuten vinouttaisi keskiarvoa ylöspäin.
• Populaation ja otoksen keskihajonnan välillä valitseminen riippuu täysin siitä, mitä lukusi todella edustavat, ei mieltymyksestä. Jos syötetyt luvut ovat KOKO ryhmä, josta olet kiinnostunut (jokainen oppilas tietyssä luokassa), käytä populaatiota. Jos ne ovat OTOS, joka on tarkoitettu arvioimaan suurempaa ryhmää (kysely joistakin asiakkaista, joka on tarkoitettu edustamaan kaikkia asiakkaita), käytä otosta — väärän valitseminen systemaattisesti ali- tai yliarvioi todellisen vaihtelun.
• Datajoukolla voi olla ei yhtään moodia, yksi moodi tai useita moodeja, toisin kuin keskiarvo ja mediaani, jotka ovat aina yksittäisiä arvoja. Jos jokainen arvo listassa esiintyy tarkalleen kerran, moodia ei yksinkertaisesti ole — ja jos kaksi tai useampi arvo jakaa yleisimmän esiintymisen, datajoukko voi aidosti olla “bimodaalinen” tai “multimodaalinen”, mikä itsessään on usein merkityksellinen signaali taustalla olevasta datasta.
• Keskihajonta tulkitaan intuitiivisimmin suunnilleen kellokäyrän muotoisille (normaali-) jakaumille, joissa noin 68 % arvoista osuu yhden keskihajonnan sisään keskiarvosta. Voimakkaasti vinolle tai hyvin erimuotoiselle datalle keskihajonta on edelleen pätevä hajonnan mitta, mutta intuitiivinen “68-95-99,7-sääntö” ei sovellu yhtä puhtaasti.

Yleisiä Virheitä

• Populaation keskihajonnan (tai aina otoksen) käyttäminen tottumuksesta. Kumpi on oikea, riippuu täysin siitä, ovatko syötetyt luvut koko ryhmä vai vain otos siitä — väärän valitseminen ali- tai yliarvioi systemaattisesti todellisen hajonnan riippumatta siitä, kuinka huolellisesti loppu laskelma on tehty.
• Keskiarvon käsitteleminen “tyypillisenä arvona”, kun data on vinoa. Kourallinen epätavallisen suuria tai pieniä lukuja vetää keskiarvoa pois siitä, missä suurin osa datasta todella sijaitsee — mediaani on usein rehellisempi “tyypillinen arvo” vinolle datalle, kuten tuloille tai asuntojen hinnoille.
• Unohtaa, että moodi voi olla olematon, yksittäinen, tai useampi. Oletus, että jokaisella datajoukolla on tarkalleen yksi moodi, johtaa sekaannukseen, kun listalla ei ole toistuvia arvoja (ei moodia) tai useampi arvo jakaa yleisimmän esiintymisen (multimodaalinen) — molemmat ovat normaaleja, odotettuja tuloksia, eivät virheitä.

Hyödyllistä Tietoa

• Tarvitsetko standardoida yksittäisen arvon tunnettua keskiarvoa ja keskihajontaa vasten sen sijaan, että laskisit ne listasta? Z-Arvolaskuri muuntaa yksittäisen arvon z-pisteeksi ja prosenttipisteeksi.
• Työskenteletkö vain kahden luvun kanssa ja haluat niiden prosentuaalisen eron täydellisen kuvailevan tilastollisen erittelyn sijaan? Prosenttivirhelaskuri ja Prosenttilaskuri kattavat tuon yksinkertaisemman tapauksen.
• Oletko utelias, kuinka todennäköinen tietty lopputulos on, sen sijaan että vain kuvailisit jo olemassa olevaa datajoukkoa? Todennäköisyyslaskuri laskee yksittäisten ja yhdistettyjen tapahtumien todennäköisyydet.