Z-Arvolaskuri

Arvon Standardointi Jakauman Keskiarvoa Vasten

Z-arvo mittaa, kuinka monta keskihajontaa arvo sijaitsee jakauman keskiarvon ylä- tai alapuolella. Syötä arvo, jakauman keskiarvo ja sen keskihajonta löytääksesi z-arvon ja vastaavan persentiilin — kuinka suuri osuus normaalijakaumasta osuu tähän arvoon tai sen alle.

Z-arvo 0 tarkoittaa, että arvo vastaa keskiarvoa täsmälleen. Positiiviset z-arvot ovat keskiarvon yläpuolella; negatiiviset z-arvot ovat sen alapuolella. Koska noin 68 % normaalijakaumasta osuu 1 keskihajonnan sisään keskiarvosta, 95 % 2:n sisään ja 99,7 % 3:n sisään, pelkkä z-arvo antaa välittömän käsityksen siitä, kuinka epätavallinen arvo on.

Kaava

$$\text{Z-Arvo} = \frac{\vA{\text{Arvo}} - \vB{\text{Keskiarvo}}}{\vC{\text{Keskihajonta}}}$$

Persentiili tulee standardinormaalijakauman kertymäfunktiosta — todennäköisyys, että satunnaisesti poimittu arvo tuosta jakaumasta osuu syötettyyn z-arvoon tai sen alle, laskettuna tässä hyvin vakiintuneella virhefunktion polynomiapproksimaatiolla.

Laskuesimerkki

ÄO-pistemäärä 115, jossa ÄO-pistemäärillä on keskiarvo 100 ja keskihajonta 15:

1. Z-arvo: $\vA{115} - \vB{100} = 15$, sitten $15 \div \vC{15} = 1.0$.
2. Persentiili: z-arvo tarkalleen 1 vastaa 84,13. persentiiliä — tämä arvo on korkeampi kuin noin 84 % jakaumasta.

Keskeiset Huomioitavat Tekijät

• Tämä laskelma olettaa, että taustalla oleva jakauma on aidosti normaali (kellokäyrän muotoinen), mikä ei pidä paikkaansa jokaiselle todelliselle datajoukolle. Monet todelliset mittaukset (kuten pituus tai ÄO-pistemäärät) lähestyvät normaalijakaumaa riittävän tarkasti, jotta tämä toimii hyvin, mutta voimakkaasti vino tai useita huippuja sisältävä jakauma ei kuvaudu tarkasti persentiilinä tämän laskurin luottaman standardinormaalikäyrän avulla.
• Z-arvo standardoi arvot eri jakaumista samalle vertailukelpoiselle asteikolle. Juuri tämä tekee z-arvoista hyödyllisiä arvon suhteellisen aseman vertaamiseen kahden eri mittauksen välillä, joilla on eri keskiarvot ja keskihajonnat — kuten yhden kokeen pistemäärän vertaaminen toiseen kokeeseen, jolla on eri pisteytysasteikko.
• Tämä laskuri laskee YKSIPUOLISEN persentiilin (osuuden jakaumasta, joka on tässä arvossa tai sen alla), mikä eroaa kaksipuolisesta (molempien-häntien) todennäköisyydestä. Riippuen kysytystä kysymyksestä — “kuinka suuri osuus sai minua pienemmän pistemäärän” verrattuna “kuinka epätavallinen tämä arvo on kumpaankin suuntaan” — käytettävä relevantti luku voi vaihdella, ja kannattaa olla selvillä siitä, kumpaa tietty käyttötapaus todella tarvitsee.
• Z-arvolaskuri ja Tilastolaskuri vastaavat sukua oleviin, mutta aidosti eri kysymyksiin. Tilastolaskuri laskee datajoukon OMAN keskiarvon ja keskihajonnan raakadatasta, kun taas tämä laskuri pisteyttää YHDEN arvon jo TUNNETTUA jakauman keskiarvoa ja keskihajontaa vasten — näitä kahta käytetään usein yhdessä, laskien ensin jakauman parametrit ja pisteyttäen sitten yksittäisiä arvoja sitä vasten.

Yleiset Virheet

• Otoksesta lasketun tunnusluvun käyttäminen ikään kuin se olisi perusjoukon todellinen keskiarvo/keskihajonta. Pienestä otoksesta arvioidut keskiarvo ja keskihajonta kantavat omaa epävarmuuttaan — niiden käsitteleminen tarkkoina perusjoukon parametreina voi saada persentiilin näyttämään tarkemmalta kuin se todellisuudessa on.
• Oletetaan, että taustadata on normaalijakautunutta tarkistamatta asiaa. Persentiilimuunnos pätee vain aidosti kellokäyrän muotoiselle datalle — vinolle tai monihuippuiselle jakaumalle laskettu z-arvo pysyy pätevänä, mutta siitä saatava persentiililuku voi olla vakavasti harhaanjohtava.
• Yksipuolisen persentiilin sekoittaminen kaksipuoliseen (molempien-häntien) todennäköisyyteen. “Kuinka suuri osuus sai minua pienemmän pistemäärän” ja “kuinka epätavallinen tämä arvo on kumpaankin suuntaan” ovat eri kysymyksiä eri vastauksineen — väärän käyttäminen tilanteeseen johtaa tuloksen väärintulkintaan.

Hyvä Tietää

• Tarvitsetko ensin keskiarvon ja keskihajonnan syötettäväksi tähän? Tilastolaskuri laskee molemmat suoraan raakalukujen listasta.
• Haluatko ilmaista, kuinka luotettava arvio on, yhden arvon pisteyttämisen sijaan? Luottamusvälilaskuri rakentaa vaihteluvälin otostunnusluvun ympärille yhden standardoidun pistemäärän sijaan.