Permutaatio- Ja

Ryhmästä Tehtävien Järjestysten ja Valintojen Laskeminen

Permutaatio (nPr) laskee, kuinka monella tavalla r kohdetta n:stä voidaan järjestää, kun järjestyksellä on väliä, kun taas kombinaatio (nCr) laskee, kuinka monella tavalla r kohdetta n:stä voidaan valita, kun järjestyksellä ei ole väliä. Syötä kohteiden kokonaismäärä (n) ja kuinka monta valitset (r), ja tämä laskuri löytää molemmat toisiinsa liittyvät vastaukset kerralla.

Kaavat

• Permutaatiot: $P(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{\vA{n}!}{(\vA{n} - \vB{r})!}$ — vastaavasti, $\vB{r}$ laskevan luvun tulo alkaen $\vA{n}$:stä: $\vA{n} \times (\vA{n}-1) \times \cdots \times (\vA{n}-\vB{r}+1)$.
• Kombinaatiot: $C(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{P(\vA{n}, \vB{r})}{\vB{r}!}$ — sama permutaatioiden määrä, jaettuna $\vB{r}!$:lla tavoilla, joilla nuo samat $\vB{r}$ kohdetta voitaisiin itse järjestää uudelleen (koska järjestyksellä ei ole väliä kombinaatiolle).

Laskuesimerkki

Valitaan 3 kohdetta 10 kohteen ryhmästä, kun järjestyksellä on väliä (permutaatiot):

$$P(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

Sama valinta, kun järjestyksellä EI ole väliä (kombinaatiot):

$$C(10,3) = 720 \div 3! = 720 \div 6 = 120$$

Todellisen Maailman Tarkistus

Kaikkien 6 numeron osumisen todennäköisyys 6-49-lotossa on 1/C(49,6) — täsmälleen 13 983 816 — koska numeroiden arvontajärjestys ei muuta sitä, oletko voittanut.

Keskeiset Huomioitavat Tekijät

• Se, onko järjestyksellä väliä, on se ainoa kysymys, joka määrittää, kumpi kaava soveltuu. Mitalinvoittajien järjestäminen palkintopallille (1., 2., 3. sija merkitsevät) on permutaatio-ongelma, kun taas sen valitseminen, ketkä 3 henkilöä muodostavat toimikunnan (ei järjestystä) on kombinaatio-ongelma — tämän eron oikea tunnistaminen on yleisin virheiden lähde näitä kaavoja soveltaessa.
• Kombinaatiot tuottavat aina yhtä suuren tai pienemmän luvun kuin permutaatiot samoille n:lle ja r:lle. Koska kombinaatio niputtaa yhteen jokaisen mahdollisen samojen r-kohteiden järjestyksen yhdeksi luvuksi, C(n,r) on aina P(n,r) jaettuna r!:lla — nämä kaksi arvoa täsmäävät tarkalleen vain, kun r on 0 tai 1, koska on vain yksi tapa järjestää 0 tai 1 kohdetta järjestyksestä riippumatta.
• Sekä permutaatio- että kombinaatiomäärät kasvavat äärimmäisen nopeasti n:n ja r:n kasvaessa. Tämä räjähdysmäinen kasvu (kutsutaan kombinatoriseksi räjähdykseksi) on juuri syy siihen, miksi lottotyyppiset kertoimet muuttuvat niin tähtitieteellisen pieniksi jo vaatimattomalla numeromäärän kasvulla — siirtyminen 6-49-lotosta 6-59-lottoon, esimerkiksi, huonontaa kertoimia merkittävästi, vaikka joukko kasvaa vain 10 numerolla.
• Nämä kaavat olettavat, että jokainen kohde on erillinen eikä mitään voi valita useammin kuin kerran. Skenaario, joka sallii toistuvat valinnat (kuten 4-numeroinen PIN-koodi, jossa numerot voivat toistua), käyttää kokonaan eri laskentakaavaa — vahvista aina, sallitaanko toisto, ennen kuin sovellat tässä olevia vakiomuotoisia nPr/nCr-kaavoja.

Yleisiä Virheitä

• Permutaatioluvun käyttäminen, kun järjestyksellä ei todellisuudessa ole väliä, tai päinvastoin. Tämä on yleisin virhe — kysy aina ensin, laskettaisiinko kahden valitun kohteen vaihtaminen eri lopputulokseksi, ennen kaavan valitsemista, sen sijaan että arvaisit tehtävän sanamuodon perusteella.
• Unohtaminen, että kombinaatiot eivät koskaan ole suurempia kuin permutaatiot samoilla n:llä ja r:llä. Jos kombinaatioluku osoittautuu suuremmaksi kuin vastaava permutaatioluku samoilla syötteillä, jokin on syötetty väärin — kombinaatiot jakavat permutaatioluvun pienemmäksi, eivät koskaan suurenna sitä.
• Näiden kaavojen soveltaminen tilanteeseen, joka sallii toistuvat valinnat. Molemmat kaavat olettavat, että jokainen kohde voidaan valita korkeintaan kerran — ongelma, joka sallii toistot (kuten 4-numeroisen PIN-koodin luominen), tarvitsee kokonaan erilaisen laskentatavan, ei nPr:ää tai nCr:ää.

Hyvä Tietää

• Haluatko todella laskea tietyn lopputuloksen todennäköisyyden, et vain laskea mahdollisuuksia? Todennäköisyyslaskuri muuttaa kombinaatio- tai permutaatioluvun todelliseksi todennäköisyydeksi.
• Työskenteletkö koko datajoukon kanssa pelkän järjestyksen laskemisen sijaan? Tilastolaskuri laskee keskiarvon, keskihajonnan ja muita yhteenvetolukuja numeroluettelosta.
• Tarvitseeko sinun yksinkertaistaa suhdetta tai löytää yhteinen nimittäjä osana siihen liittyvää kombinatoriikkaongelmaa? Suurin Yhteinen Tekijä Ja Pienin Yhteinen Jaettava -Laskuri löytää lukujoukon suurimman yhteisen tekijän ja pienimmän yhteisen jaettavan.