Todennäköisyyslaskuri

Tapahtuman Todennäköisyyden Löytäminen, Yksin tai Yhdistettynä

Todennäköisyys mittaa, kuinka todennäköinen tapahtuma on, lukuna 0:n (mahdotonta) ja 1:n (varmaa) välillä. Syötä suotuisien ja kokonaistulosten määrä löytääksesi yksittäisen tapahtuman todennäköisyyden ja sen komplementin, tai syötä kahden riippumattoman tapahtuman todennäköisyydet löytääksesi mahdollisuuden, että molemmat tapahtuvat, jompikumpi tapahtuu tai kumpikaan ei tapahdu.

Kaava

Yksittäinen tapahtuma:

$$\vC{\text{Todennäköisyys}} = \frac{\text{Suotuisat Tulokset}}{\text{Tulokset Yhteensä}}$$

Komplementti (todennäköisyys, ettei tapahtuma tapahdu) on aina $1 - \vC{\text{Todennäköisyys}}$.

Kaksi riippumatonta tapahtumaa (joissa yhden tapahtuman tapahtuminen ei muuta toisen todennäköisyyttä):

• $P(\text{molemmat tapahtuvat}) = P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$
• $P(\text{jompikumpi tapahtuu}) = P(\vA{A}) + P(\vB{B}) - P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$ — näiden kahden suora yhteenlaskeminen laskisi kaksinkertaisesti päällekkäisyyden, jossa molemmat tapahtuvat, joten se vähennetään takaisin kerran (inkluusio-ekskluusioperiaate).
• $P(\text{kumpikaan ei tapahdu}) = (1 - P(\vA{A})) \times (1 - P(\vB{B}))$

Laskuesimerkki

Yksittäinen tapahtuma: parillisen luvun heittäminen vakiomuotoisella 6-sivuisella nopalla.

1. Suotuisat tulokset: 3 (2, 4, 6) 6:sta yhteensä: $3 \div 6 = \vC{50\%}$.
2. Komplementti: $1 - \vC{50\%} = 50\%$ (parittoman luvun heittäminen).

Kaksi riippumatonta tapahtumaa: kolikon heittäminen ja kruunan saaminen (P = 50 %) JA nopan heittäminen ja kuutosen saaminen (P ≈ 16,67 %):

1. P(molemmat) = 0,5 × 0,1667 ≈ 8,33 %
2. P(jompikumpi) = 0,5 + 0,1667 − 0,0833 ≈ 58,33 %
3. P(kumpikaan ei) = 0,5 × 0,8333 ≈ 41,67 %

Keskeiset Huomioitavat Tekijät

• Tässä olevat riippumattomien tapahtumien kaavat pätevät vain, kun yhden tapahtuman lopputulos ei aidosti vaikuta toiseen. Kolikonheitto ja nopanheitto ovat klassisia riippumattomia tapahtumia — mutta kahden kortin nostaminen pakasta PALAUTTAMATTA ei ole riippumaton, koska ensimmäisen kortin poistaminen muuttaa toisen kortin todennäköisyyksiä. Näiden kaavojen soveltaminen riippuvaisiin tapahtumiin antaa väärän tuloksen.
• Todennäköisyys 0 tarkoittaa mahdotonta ja 1 tarkoittaa varmaa — jokainen todellinen todennäköisyys osuu jonnekin näiden kahden ääripään väliin. Tämä 0:sta 1:een -asteikko (tai vastaavasti 0 %:sta 100 %:iin) on universaali käytäntö todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä, minkä vuoksi tämän laskurin tulokset osuvat aina tälle alueelle.
• “Pelurin harha” on yleinen väärinkäsitys, jota tämän laskurin matematiikka suoraan vastustaa. Uskominen, että reilun kolikon “pitäisi” antaa klaava useamman kruunan jälkeen peräkkäin, ymmärtää riippumattomuuden väärin — jokaisella heitolla on täsmälleen sama 50 %:n todennäköisyys riippumatta siitä, mitä tapahtui aiemmin, koska aiemmilla heitoilla ei ole todellista vaikutusta reilun kolikon seuraavaan tulokseen.
• Klassinen todennäköisyys (suotuisat tulokset jaettuna kokonaistuloksilla) olettaa, että jokainen tulos on yhtä todennäköinen. Tämä oletus pitää paikkansa reilulle nopalle tai reilulle kolikolle, mutta ei jokaiselle todellisen maailman skenaariolle — painotettu noppa tai vino kolikko tarvitsisi todelliset havaitut esiintymistiheydet tämän yksinkertaisen laskentamenetelmän sijaan arvioidakseen sen todellisia todennäköisyyksiä.

Yleiset Virheet

• Riippumattomien tapahtumien kaavojen käyttäminen tapahtumiin, jotka eivät todellisuudessa ole riippumattomia. Kahden kortin nostaminen pakasta palauttamatta ensimmäistä on klassinen esimerkki — ensimmäisen kortin poistaminen muuttaa toisen todennäköisyyksiä, joten niiden kohteleminen riippumattomina yli- tai aliarvioi todellisen yhdistetyn todennäköisyyden.
• P(A):n ja P(B):n suora yhteenlasku sen selvittämiseksi, tapahtuuko jompikumpi. Se laskee kaksinkertaisesti tapauksen, jossa molemmat tapahtuvat — päällekkäisyys on vähennettävä takaisin kerran, ja juuri sen yllä oleva inkluusio-ekskluusiokaava tekee.
• Uskominen, että reilu kolikko tai noppa on “vuorossa” tiettyyn tulokseen putken jälkeen. Jokaisella riippumattomalla heitolla on täsmälleen sama todennäköisyys joka kerta, riippumatta siitä, mitä aiemmilla heitoilla tapahtui — tämän väärinkäsityksen (“pelurin harha”) kumoaa suoraan riippumattomuusoletus, johon nämä kaavat perustuvat.

Hyödyllistä Tietoa

• Työskenteletkö kokonaisen lukujoukon kanssa yksittäisen todennäköisyyden sijaan? Tilastolaskuri laskee keskiarvon, mediaanin, moodin ja keskihajonnan.
• Tarvitsetko laskea järjestyksiä tai valintoja todennäköisyyden sijaan? Permutaatio- Ja Kombinaatiolaskuri laskee permutaatiot ja kombinaatiot.
• Haluatko kokeilla todellista nopanheittoa pelkän todennäköisyyden laskemisen sijaan? Noppalaskuri heittää minkä tahansa määrän noppia millä tahansa sivujen määrällä.