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विश्वास अंतराल की गणना कैसे की जाती है

एक विश्वास अंतराल मूल्यों की एक सीमा है, जो एक नमूने के अपने माध्य के चारों ओर बनाई गई है, जिसमें संभवतः सही जनसंख्या माध्य शामिल है। एक नमूने का माध्य, मानक विचलन, और आकार दर्ज करें, एक विश्वास स्तर चुनें, और यह कैलकुलेटर उस सीमा को ज्ञात करता है जिसके भीतर वास्तविक जनसंख्या माध्य संभवतः आता है।

उदाहरण के लिए, एक “95% विश्वास अंतराल” का मतलब है कि यदि आप एक ही नमूनाकरण प्रक्रिया को कई बार दोहराते हैं, तो इससे उत्पन्न अंतरालों में से लगभग 95% में सही जनसंख्या माध्य शामिल होगा। इसका मतलब यह नहीं है कि सही माध्य के इस एक विशिष्ट अंतराल के भीतर आने की 95% संभावना है — यह लोगों द्वारा इसे व्यक्त करने का एक सामान्य, तकनीकी रूप से गलत तरीका है। एक व्यापक अंतराल (उच्च विश्वास स्तर) एक व्यापक जाल डालता है और सही माध्य को शामिल करने की अधिक संभावना रखता है; एक संकीर्ण अंतराल अधिक सटीक है लेकिन कम निश्चित है।

सूत्र

$$\vE{\text{मानक त्रुटि}} = \frac{\vA{s}}{\sqrt{\vB{n}}}$$ $$\vF{\text{त्रुटि की सीमा}} = \vC{z} \times \vE{\text{मानक त्रुटि}}$$ $$\text{विश्वास अंतराल} = \vD{\bar{x}} \pm \vF{\text{त्रुटि की सीमा}}$$

जहाँ $\vA{s}$ नमूने का मानक विचलन है, $\vB{n}$ नमूना आकार है, $\vC{z}$ चुने गए विश्वास स्तर के लिए क्रिटिकल मान है (मानक सामान्य वितरण से देखा गया), और $\vD{\bar{x}}$ नमूना माध्य है। एक बड़ा नमूना आकार मानक त्रुटि को सिकोड़ता है — और इसलिए पूरे अंतराल को — क्योंकि अधिक डेटा सही माध्य का अधिक सटीक अनुमान देता है।

हल किया गया उदाहरण

25 वस्तुओं के एक नमूने का माध्य 100 और मानक विचलन 15 है, 95% विश्वास स्तर पर (क्रिटिकल मान z = 1.96):

1. मानक त्रुटि: $\vE{\text{मानक त्रुटि}} = \vA{15} \div \sqrt{\vB{25}} = \vE{3}$।
2. त्रुटि की सीमा: $\vF{\text{त्रुटि की सीमा}} = \vC{1.96} \times \vE{3} = \vF{5.88}$।
3. विश्वास अंतराल: $\text{विश्वास अंतराल} = \vD{100} \pm \vF{5.88} = [94.12, 105.88]$।

इसलिए सही जनसंख्या माध्य संभवतः (95% विश्वास के साथ) 94.12 और 105.88 के बीच कहीं है।

ध्यान रखने योग्य मुख्य बातें

• एक विश्वास अंतराल इस बारे में कुछ नहीं कहता कि नमूना कैसे एकत्र किया गया था। यहाँ का गणित मानता है कि नमूना जनसंख्या का वास्तव में यादृच्छिक, प्रतिनिधि नमूना है — एक पक्षपाती या गैर-यादृच्छिक नमूनाकरण विधि एक ऐसा विश्वास अंतराल उत्पन्न कर सकती है जो सटीक दिखता है लेकिन पूरी तरह गलत मान पर केंद्रित है, एक समस्या जिसे यह सूत्र न तो पहचान सकता है और न ही ठीक कर सकता है।
• यह अंतराल मानता है कि अंतर्निहित डेटा कम से कम लगभग सामान्य रूप से वितरित है, या नमूना सेंट्रल लिमिट प्रमेय लागू होने के लिए पर्याप्त बड़ा है। एक भारी तिरछे वितरण से एक छोटे नमूने के लिए, z-वितरण और t-वितरण दोनों सन्निकटन कम विश्वसनीय हो जाते हैं।
• एक सर्वेक्षण या पोल में रिपोर्ट किया गया विश्वास अंतराल और त्रुटि की सीमा एक ही अंतर्निहित विचार का वर्णन करते हैं। एक समाचार रिपोर्ट जो किसी बताए गए विश्वास स्तर (अक्सर 95%) पर “प्लस या माइनस 3 प्रतिशत अंक की त्रुटि सीमा” का उल्लेख करती है, वह बिल्कुल वही अंतराल बता रही है जिसकी यह कैलकुलेटर गणना करता है, बस अलग तरीके से व्यक्त किया गया है।
• संकीर्ण होना हमेशा बेहतर नहीं है अगर इसकी कीमत विश्वास के रूप में चुकानी पड़े। एक कम विश्वास स्तर (मान लीजिए 95% के बजाय 80%) पर एक तंग अंतराल अधिक सटीक है लेकिन वास्तव में सही मान को शामिल करने की संभावना कम है — सटीकता और विश्वास के बीच सही ट्रेडऑफ़ इस बात पर निर्भर करता है कि अनुमान का उपयोग किस लिए किया जा रहा है।

सामान्य गलतियाँ

• “95% विश्वास” को “95% संभावना कि सही माध्य इस अंतराल में है” के रूप में पढ़ना। एक बार जब कोई नमूना वास्तव में एकत्र कर लिया जाता है और अंतराल की गणना कर ली जाती है, तो सही जनसंख्या माध्य या तो उसके भीतर होता है या नहीं होता — अब बात करने के लिए कोई संभावना नहीं बचती। 95% विधि के दीर्घकालिक व्यवहार का वर्णन कई बार दोहराए गए नमूनों में करता है, इस एक विशिष्ट परिणाम का नहीं।
• धारणाओं की जांच किए बिना इस z-वितरण आधारित सूत्र को एक छोटे नमूने पर लागू करना। z-वितरण या तो एक बड़े नमूने (परंपरागत रूप से n लगभग 30 या अधिक) या ज्ञात जनसंख्या मानक विचलन को मानता है। केवल अनुमानित मानक विचलन वाले एक छोटे नमूने को तकनीकी रूप से इसके बजाय t-वितरण का उपयोग करना चाहिए, जो कुछ अधिक व्यापक — और अधिक ईमानदार — अंतराल देता है।
• विश्वास अंतराल को कच्चे डेटा की सीमा के साथ भ्रमित करना। अंतराल जनसंख्या माध्य के बारे में अनिश्चितता का वर्णन करता है, यह नहीं कि व्यक्तिगत डेटा बिंदु कहां आते हैं — एक डेटासेट में इसके विश्वास अंतराल से कहीं अधिक व्यापक रूप से फैले हुए मान हो सकते हैं जबकि स्वयं माध्य पर अंतराल संकीर्ण रहता है, खासकर एक बड़े नमूने के साथ।

जानने योग्य बातें

चूंकि मानक त्रुटि नमूने के आकार के बजाय नमूना आकार के वर्गमूल के साथ सिकुड़ती है, त्रुटि की सीमा को आधा करने का मतलब आम तौर पर नमूना आकार को केवल दोगुना करने के बजाय लगभग चार गुना करना होता है — यह एक ऐसा विवरण है जो यह योजना बनाते समय मायने रखता है कि किसी सर्वेक्षण या प्रयोग को वास्तव में कितना बड़ा होना चाहिए। यही कारण है कि केवल कुछ सौ उत्तरदाताओं वाले सर्वेक्षण भी एक सम्मानजनक रूप से तंग त्रुटि सीमा की रिपोर्ट कर सकते हैं: एक बार जब कोई नमूना कुछ सौ तक पहुंच जाता है, तो वर्गमूल संबंध का मतलब है कि प्रत्येक अतिरिक्त उत्तरदाता क्रमिक रूप से कम सटीकता खरीदता है, इसलिए सर्वेक्षकों को सीमा से एक अंश का प्रतिशत बिंदु कम करने के लिए नमूना आकार को दसियों हज़ार तक बढ़ाने में शायद ही कोई मूल्य दिखता है।