सांख्यिकी

माध्य, मध्यिका, बहुलक, और प्रसार कैसे ज्ञात करें

यह कैलकुलेटर संख्याओं की किसी भी सूची का माध्य, मध्यिका, बहुलक, परिसर, प्रसरण, और मानक विचलन ज्ञात करता है। नीचे दिए गए बॉक्स में अपनी संख्याएँ पेस्ट करें या टाइप करें — अल्पविराम, स्पेस, या नई पंक्तियों से अलग करके, किसी भी संयोजन में — और सभी सामान्य वर्णनात्मक सांख्यिकी एक साथ गणना की जाती हैं।

माध्य अंकगणितीय औसत है। मध्यिका संख्याओं को क्रमबद्ध करने पर मध्य मान है (या सम-आकार की सूची के लिए, दो मध्य मानों का औसत)। बहुलक वह मान (या मान) है जो सबसे अधिक बार दिखाई देता है — यदि प्रत्येक संख्या बिल्कुल एक बार दिखाई देती है, तो कोई बहुलक नहीं है।

मानक विचलन मापता है कि संख्याएँ माध्य से कितनी फैली हुई हैं — एक छोटा मानक विचलन इंगित करता है कि संख्याएँ एक साथ करीब हैं; एक बड़ा मानक विचलन इंगित करता है कि वे व्यापक रूप से फैली हुई हैं। यह कैलकुलेटर इसे दो तरीकों से बताता है: समष्टि मानक विचलन (जब आपकी संख्याएँ वह पूरा समूह हैं जिसकी आप परवाह करते हैं) और प्रतिदर्श मानक विचलन (जब आपकी संख्याएँ एक बड़े समष्टि का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाने वाला प्रतिदर्श हैं) — प्रतिदर्श संस्करण थोड़ा बड़ा है, इस तथ्य को सुधारते हुए कि एक प्रतिदर्श पूरे समष्टि के वास्तविक प्रसार को कम आंकने की प्रवृत्ति रखता है।

सूत्र

$$\vC{\text{माध्य}} = \frac{\sum \vA{\text{संख्याएँ}}}{\vB{\text{संख्या}}}$$ $$\vD{\text{समष्टि प्रसरण}} = \frac{\sum (\vA{\text{संख्या}} - \vC{\text{माध्य}})^2}{\vB{\text{संख्या}}}$$ $$\vD{\text{प्रतिदर्श प्रसरण}} = \frac{\sum (\vA{\text{संख्या}} - \vC{\text{माध्य}})^2}{\vB{\text{संख्या}} - 1}$$ $$\text{मानक विचलन} = \sqrt{\vD{\text{प्रसरण}}}$$

समष्टि या प्रतिदर्श, जो भी प्रसरण उपयोग किया जाता है उससे मेल खाता हुआ।

समष्टि और प्रतिदर्श संस्करणों के बीच एकमात्र अंतर संख्या से ही विभाजित करना बनाम संख्या घटा एक (बेसेल के सुधार के रूप में जाना जाता है) से विभाजित करना है — बाकी सब कुछ समान है।

हल किया गया उदाहरण

संख्याएँ 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9:

1. संख्या: $\vB{8}$। योग: $\vA{40}$। माध्य: $\vA{40} \div \vB{8} = \vC{5}$।
2. क्रमबद्ध: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — मध्यिका दो मध्य मानों (4 और 5) का औसत है: $(4 + 5) \div 2 = 4.5$।
3. बहुलक: 4 (तीन बार दिखाई देता है, किसी भी अन्य मान से अधिक)।
4. परिसर: $9 - 2 = 7$।
5. समष्टि मानक विचलन: 2.0। प्रतिदर्श मानक विचलन: ≈2.14।

ध्यान रखने योग्य मुख्य बातें

• जब एक डेटासेट में आउटलायर हों या वह तिरछा हो तो माध्य और मध्यिका बहुत अलग-अलग कहानियां बता सकते हैं। एक ही बहुत बड़ा या बहुत छोटा मान माध्य को अपनी ओर खींचता है, जबकि मध्यिका चरम मानों की परवाह किए बिना क्रमबद्ध डेटा के मध्य में लंगर डाले रहती है — यही ठीक कारण है कि, उदाहरण के लिए, माध्य घरेलू आय के बजाय (या साथ में) मध्यिका घरेलू आय आमतौर पर रिपोर्ट की जाती है, क्योंकि कुछ बहुत उच्च आय अन्यथा माध्य को ऊपर की ओर तिरछा कर देंगी।
• समष्टि बनाम प्रतिदर्श मानक विचलन चुनना पूरी तरह से इस पर निर्भर करता है कि आपकी संख्याएँ वास्तव में क्या दर्शाती हैं, पसंद पर नहीं। यदि दर्ज की गई संख्याएँ वह पूरा समूह हैं जिसकी आप परवाह करते हैं (एक विशिष्ट कक्षा का हर छात्र), तो समष्टि का उपयोग करें। यदि वे एक बड़े समूह का अनुमान लगाने के लिए एक प्रतिदर्श हैं (कुछ ग्राहकों का एक सर्वेक्षण जो सभी ग्राहकों का प्रतिनिधित्व करना है), तो प्रतिदर्श का उपयोग करें — गलत चुनना व्यवस्थित रूप से वास्तविक परिवर्तनशीलता को कम या अधिक आंकता है।
• एक डेटासेट में कोई बहुलक, एक बहुलक, या कई बहुलक हो सकते हैं, माध्य और मध्यिका के विपरीत जो हमेशा एकल मान होते हैं। यदि एक सूची में हर मान बिल्कुल एक बार दिखाई देता है, तो बस कोई बहुलक नहीं है — और यदि दो या अधिक मान सबसे अधिक बार-बार होने के लिए बराबरी करते हैं, तो एक डेटासेट वास्तव में “द्विबहुलक” या “बहुबहुलक” हो सकता है, जो स्वयं अक्सर अंतर्निहित डेटा के बारे में एक सार्थक संकेत होता है।
• मानक विचलन को लगभग घंटी-आकार (सामान्य) वितरणों के लिए सबसे सहज रूप से व्याख्यायित किया जाता है, जहां लगभग 68% मान माध्य के एक मानक विचलन के भीतर आते हैं। डेटा के लिए जो भारी रूप से तिरछा है या जिसका आकार बहुत अलग है, मानक विचलन अभी भी एक वैध प्रसार माप है, लेकिन सहज “68-95-99.7 नियम” प्रतिशत उतनी सफाई से लागू नहीं होते।

सामान्य गलतियाँ

• आदतन हमेशा समष्टि मानक विचलन (या हमेशा प्रतिदर्श) का उपयोग करना। कौन सा सही है यह पूरी तरह इस पर निर्भर करता है कि दर्ज की गई संख्याएँ पूरा समूह हैं या उसका केवल एक प्रतिदर्श — गलत चुनना शेष गणना कितनी भी सावधानी से की गई हो, व्यवस्थित रूप से वास्तविक प्रसार को कम या अधिक आंकता है।
• जब डेटा तिरछा हो तो माध्य को “विशिष्ट मान” मानना। असामान्य रूप से बड़ी या छोटी संख्याओं का एक समूह माध्य को उस स्थान से दूर खींच देता है जहाँ वास्तव में अधिकांश डेटा स्थित है — आय या घर की कीमतों जैसे तिरछे डेटा के लिए मध्यिका अक्सर अधिक ईमानदार “विशिष्ट मान” होती है।
• यह भूल जाना कि बहुलक अनुपस्थित, एकल, या कई हो सकता है। यह मान लेना कि हर डेटासेट में बिल्कुल एक बहुलक होता है, तब भ्रम पैदा करता है जब किसी सूची में कोई दोहराया हुआ मान न हो (कोई बहुलक नहीं) या कई मान सबसे अधिक बार-बार होने के लिए बराबरी करें (बहुबहुलक) — दोनों सामान्य, अपेक्षित परिणाम हैं, गलतियाँ नहीं।

जानने योग्य उपयोगी बातें

• क्या आपको किसी सूची से गणना करने के बजाय किसी ज्ञात माध्य और मानक विचलन के विरुद्ध एक ही मान को मानकीकृत करने की आवश्यकता है? Z-स्कोर कैलकुलेटर एक मान को z-स्कोर और प्रतिशतक में बदलता है।
• क्या आप केवल दो संख्याओं के साथ काम कर रहे हैं और एक पूर्ण वर्णनात्मक सांख्यिकीय विश्लेषण के बजाय उनका प्रतिशत अंतर चाहते हैं? प्रतिशत त्रुटि कैलकुलेटर और प्रतिशत कैलकुलेटर उस सरल मामले को कवर करते हैं।
• क्या आप जानने के लिए उत्सुक हैं कि कोई विशेष परिणाम कितना संभावित है, बजाय इसके कि आपके पास पहले से मौजूद डेटासेट का केवल वर्णन करें? प्रायिकता कैलकुलेटर एकल और संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं की गणना करता है।