Z-स्कोर

किसी वितरण के माध्य के मुकाबले एक मान को मानकीकृत करना

एक Z-स्कोर मापता है कि एक मान वितरण के माध्य से कितने मानक विचलन ऊपर या नीचे बैठता है। Z-स्कोर और संबंधित पर्सेंटाइल ज्ञात करने के लिए एक मान, वितरण का माध्य, और इसका मानक विचलन दर्ज करें — एक सामान्य वितरण का कितना हिस्सा उस मान पर या उससे नीचे पड़ता है।

0 का Z-स्कोर का मतलब है कि मान बिल्कुल माध्य के बराबर है। धनात्मक Z-स्कोर माध्य से ऊपर हैं; ऋणात्मक Z-स्कोर इससे नीचे हैं। क्योंकि एक सामान्य वितरण का लगभग 68% माध्य के 1 मानक विचलन के भीतर पड़ता है, 2 के भीतर 95%, और 3 के भीतर 99.7%, एक Z-स्कोर अकेले यह तत्काल अनुभव देता है कि एक मान कितना असामान्य है।

सूत्र

$$\text{Z-स्कोर} = \frac{\vA{\text{मान}} - \vB{\text{माध्य}}}{\vC{\text{मानक विचलन}}}$$

पर्सेंटाइल मानक सामान्य वितरण के संचयी वितरण फलन से आता है — संभावना कि उस वितरण से यादृच्छिक रूप से खींचा गया एक मान दर्ज किए गए Z-स्कोर पर या उससे नीचे पड़ता है, यहाँ त्रुटि फलन के एक सुस्थापित बहुपद सन्निकटन के माध्यम से गणना की गई।

हल किया गया उदाहरण

115 का एक IQ स्कोर, जहाँ IQ स्कोर का माध्य 100 है और मानक विचलन 15 है:

1. Z-स्कोर: $\vA{115} - \vB{100} = 15$, फिर $15 \div \vC{15} = 1.0$।
2. पर्सेंटाइल: ठीक 1 का Z-स्कोर 84.13वें पर्सेंटाइल से मेल खाता है — यह मान वितरण के लगभग 84% से अधिक है।

ध्यान रखने योग्य मुख्य बातें

• यह गणना मानती है कि अंतर्निहित वितरण वास्तव में सामान्य (घंटी-आकार) है, जो हर वास्तविक डेटासेट के लिए सच नहीं है। कई वास्तविक-दुनिया के माप (जैसे ऊंचाई या IQ स्कोर) एक सामान्य वितरण के इतने करीब होते हैं कि यह अच्छी तरह से काम करे, लेकिन एक वितरण जो भारी रूप से तिरछा है या जिसके कई शिखर हैं, उसका पर्सेंटाइल इस कैलकुलेटर द्वारा निर्भर मानक सामान्य वक्र द्वारा सटीक रूप से वर्णित नहीं होगा।
• एक Z-स्कोर अलग-अलग वितरणों के मानों को एक ही तुलनीय पैमाने पर मानकीकृत करता है। यही ठीक कारण है कि Z-स्कोर अलग-अलग माध्य और मानक विचलन वाले दो अलग-अलग मापों में एक मान की सापेक्ष स्थिति की तुलना करने के लिए उपयोगी हैं — जैसे एक परीक्षा पर एक टेस्ट स्कोर की तुलना एक अलग स्कोरिंग पैमाने वाली एक अलग परीक्षा से करना।
• यह कैलकुलेटर एक एक-तरफा पर्सेंटाइल (एक मान पर या उससे नीचे वितरण का हिस्सा) की गणना करता है, जो एक दो-तरफा (दोनों-पूंछ) संभावना से अलग है। पूछे जा रहे प्रश्न के आधार पर — “मुझसे कितने प्रतिशत लोगों ने कम स्कोर किया” बनाम “यह मान किसी भी दिशा में कितना असामान्य है” — उपयोग करने योग्य प्रासंगिक आंकड़ा भिन्न हो सकता है, और यह स्पष्ट होना उचित है कि एक विशिष्ट उपयोग-मामले को वास्तव में किसकी आवश्यकता है।
• Z-स्कोर कैलकुलेटर और सांख्यिकी कैलकुलेटर संबंधित लेकिन वास्तव में अलग-अलग सवालों के जवाब देते हैं। सांख्यिकी कैलकुलेटर कच्ची संख्याओं से एक डेटासेट के अपने माध्य और मानक विचलन की गणना करता है, जबकि यह कैलकुलेटर एक पहले से ज्ञात वितरण के माध्य और मानक विचलन के मुकाबले एक मान को स्कोर करता है — दोनों का अक्सर एक साथ उपयोग किया जाता है, पहले एक वितरण के पैरामीटर की गणना करके, फिर उसके मुकाबले व्यक्तिगत मानों को स्कोर करके।

सामान्य गलतियाँ

• किसी नमूने के आँकड़े को ऐसे उपयोग करना जैसे कि वह वास्तविक जनसंख्या का माध्य/मानक विचलन हो। एक छोटे नमूने से अनुमानित माध्य और मानक विचलन अपनी खुद की अनिश्चितता रखते हैं — उन्हें सटीक जनसंख्या पैरामीटर के रूप में मानने से एक पर्सेंटाइल वास्तव में जितना है उससे अधिक सटीक दिख सकता है।
• बिना जाँचे यह मान लेना कि अंतर्निहित डेटा सामान्य रूप से वितरित है। पर्सेंटाइल रूपांतरण केवल वास्तव में घंटी-आकार के डेटा के लिए मान्य है — एक तिरछे या बहु-शिखर वितरण के लिए, गणना किया गया Z-स्कोर अभी भी मान्य रहता है, लेकिन उससे प्राप्त पर्सेंटाइल आंकड़ा गंभीर रूप से भ्रामक हो सकता है।
• एक-तरफा पर्सेंटाइल को दो-तरफा (दोनों-पूंछ) संभावना के साथ भ्रमित करना। “मुझसे कितने प्रतिशत लोगों ने कम स्कोर किया” और “यह मान किसी भी दिशा में कितना असामान्य है” अलग-अलग उत्तरों वाले अलग-अलग प्रश्न हैं — स्थिति के लिए गलत का उपयोग करने से परिणाम की गलत व्याख्या होती है।

जानने योग्य बातें

• क्या आपको यहाँ दर्ज करने के लिए पहले माध्य और मानक विचलन की आवश्यकता है? सांख्यिकी कैलकुलेटर कच्ची संख्याओं की सूची से दोनों की सीधे गणना करता है।
• क्या आप एक मान को स्कोर करने के बजाय यह व्यक्त करना चाहते हैं कि एक अनुमान कितना विश्वसनीय है? कॉन्फ़िडेंस इंटरवल कैलकुलेटर एक एकल मानकीकृत स्कोर के बजाय नमूने के आँकड़े के चारों ओर एक श्रेणी बनाता है।