क्रमचय और संचय

एक समूह से व्यवस्थाओं और चयनों की गिनती करना

क्रमचय (nPr) यह गिनता है कि n में से r आइटमों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है जहाँ क्रम मायने रखता है, जबकि संचय (nCr) यह गिनता है कि n में से r आइटमों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है जहाँ क्रम मायने नहीं रखता। आइटमों की कुल संख्या (n) और आप कितने चुन रहे हैं (r) दर्ज करें, और यह कैलकुलेटर एक साथ दोनों संबंधित उत्तर ढूँढता है।

सूत्र

• क्रमचय: $P(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{\vA{n}!}{(\vA{n} - \vB{r})!}$ — समकक्ष रूप से, $\vA{n}$ से शुरू होने वाली $\vB{r}$ अवरोही संख्याओं का गुणनफल: $\vA{n} \times (\vA{n}-1) \times \cdots \times (\vA{n}-\vB{r}+1)$।
• संचय: $C(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{P(\vA{n}, \vB{r})}{\vB{r}!}$ — वही क्रमचय संख्या, उन्हीं $\vB{r}$ आइटमों को स्वयं फिर से व्यवस्थित करने के $\vB{r}!$ तरीकों से विभाजित (क्योंकि संचय के लिए क्रम मायने नहीं रखता)।

हल किया गया उदाहरण

10 के समूह में से 3 आइटम चुनना, जहाँ क्रम मायने रखता है (क्रमचय):

$$P(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

वही चयन जहाँ क्रम मायने नहीं रखता (संचय):

$$C(10,3) = 720 \div 3! = 720 \div 6 = 120$$

एक वास्तविक-दुनिया जाँच

6-में-से-49 लॉटरी ड्रा में सभी 6 नंबर मिलाने की संभावना C(49,6) में से 1 है — बिल्कुल 13,983,816 — क्योंकि नंबर निकाले जाने का क्रम इस बात को नहीं बदलता कि आप जीते हैं या नहीं।

ध्यान रखने योग्य मुख्य बातें

• क्या क्रम मायने रखता है, यह वह एकमात्र प्रश्न है जो तय करता है कि कौन सा सूत्र लागू होता है। पोडियम पर पदक विजेताओं को व्यवस्थित करना (पहला, दूसरा, तीसरा स्थान मायने रखता है) एक क्रमचय समस्या है, जबकि यह चुनना कि कौन से 3 लोग एक समिति बनाते हैं (कोई रैंकिंग शामिल नहीं) एक संचय समस्या है — इस अंतर को सही ढंग से पहचानना इन सूत्रों को लागू करते समय त्रुटि का सबसे सामान्य स्रोत है।
• समान n और r के लिए संचय हमेशा क्रमचय के बराबर या उससे छोटी गिनती उत्पन्न करता है। चूंकि एक संचय समान r आइटमों की हर संभावित व्यवस्था को एक अकेली गिनती में समूहित करता है, C(n,r) हमेशा P(n,r) को r! से विभाजित करके प्राप्त होता है — दोनों मान केवल तभी बिल्कुल मेल खाते हैं जब r 0 या 1 हो, क्योंकि क्रम की परवाह किए बिना 0 या 1 आइटम को व्यवस्थित करने का केवल एक ही तरीका है।
• n और r बढ़ने के साथ क्रमचय और संचय दोनों गिनती अत्यंत तेज़ी से बढ़ती हैं। यह विस्फोटक वृद्धि (जिसे कॉम्बिनेटोरियल विस्फोट कहा जाता है) ठीक वही कारण है कि लॉटरी-शैली की संभावनाएं कितने नंबरों में से निकाले जाते हैं इसमें एक मामूली वृद्धि के साथ ही इतनी खगोलीय रूप से छोटी हो जाती हैं — उदाहरण के लिए, एक 6-में-से-49 लॉटरी से एक 6-में-से-59 लॉटरी में जाना, पूल के केवल 10 नंबरों से बढ़ने के बावजूद संभावनाओं को महत्वपूर्ण रूप से खराब कर देता है।
• ये सूत्र मानते हैं कि हर आइटम अलग है और किसी को भी एक से अधिक बार नहीं चुना जा सकता। एक परिदृश्य जो दोहराए गए चयन की अनुमति देता है (जैसे एक 4-अंकीय PIN जहां अंक दोहराए जा सकते हैं) पूरी तरह से एक अलग गिनती सूत्र का उपयोग करता है — यहां मानक nPr/nCr सूत्र लागू करने से पहले हमेशा पुष्टि करें कि क्या दोहराव की अनुमति है।

सामान्य गलतियाँ

• जब क्रम वास्तव में मायने नहीं रखता तब क्रमचय संख्या का उपयोग करना, या इसके विपरीत। यह सबसे सामान्य गलती है — सूत्र चुनने से पहले हमेशा पहले पूछें कि क्या दो चयनित आइटमों की अदला-बदली एक अलग परिणाम के रूप में गिनी जाएगी, समस्या के शब्दों के आधार पर अनुमान लगाने के बजाय।
• यह भूल जाना कि समान n और r के लिए संचय कभी भी क्रमचय से बड़ा नहीं होता। यदि समान इनपुट के लिए संचय संख्या संबंधित क्रमचय संख्या से बड़ी निकलती है, तो कुछ गलत दर्ज किया गया है — संचय क्रमचय संख्या को विभाजित करके कम करते हैं, वे इसे कभी नहीं बढ़ाते।
• इन सूत्रों को ऐसी स्थिति पर लागू करना जो दोहराए गए चयन की अनुमति देती है। दोनों सूत्र मानते हैं कि हर आइटम को अधिकतम एक बार चुना जा सकता है — एक समस्या जो दोहराव की अनुमति देती है (जैसे 4-अंकीय PIN बनाना) को पूरी तरह से एक अलग गिनती दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है, nPr या nCr की नहीं।

जानने योग्य उपयोगी बातें

• क्या आप वास्तव में किसी विशिष्ट परिणाम की संभावना की गणना करना चाहते हैं, न कि केवल संभावनाओं की गिनती? प्रायिकता कैलकुलेटर एक संचय या क्रमचय संख्या को एक वास्तविक संभावना में बदल देता है।
• क्या आप केवल व्यवस्थाओं की गिनती के बजाय एक पूर्ण डेटा सेट के साथ काम कर रहे हैं? सांख्यिकी कैलकुलेटर संख्याओं की एक सूची से औसत, मानक विचलन, और अन्य सारांश आंकड़ों की गणना करता है।
• क्या आपको किसी संबंधित संयोजिकी समस्या के भाग के रूप में अनुपात सरल बनाने या उभयनिष्ठ हर खोजने की आवश्यकता है? महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य कैलकुलेटर संख्याओं के एक समूह का महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य खोजता है।